Re: [中學] 多項式函數
: 以代入整數點來說是log以2為底，真數為x的函數
: 但要多項式函數，是跟馬克勞林級數有關嗎？
: 請問這題如何解決？謝謝
可以把原本的問題改寫成這樣
x的2023次方程式： f(2x) = f(x) +1
的解有 1,2,4,8,...2^2022 ，共2023個
整理後得到
f(2x) - f(x) -1 = 0
而這個方程式應該要等價於
k(x-1)(x-2)(x-4)...(x-2^2022) = 0
注意 f(2x) - f(x) 的常數項已經被消掉了，
故上面方程式的常數項 = -1
令S = 1+2+3+...+2022
下面的方程式常數項
-k(2*4*8*...*2^2022) = -1
得到 k = 1/2^S
f(2x) - f(x) 的x項係數就是f(x)的x項係數
（2倍-1倍 = 1倍）
k(x-1)(x-2)(x-4)....(x-2^2022) = 0 的x項係數則是
k* ( 2*4*...*2^2022 +
1* 4*...*2^2022 +
1*2* 8*...*2^2022 +
.
.
.
1*2*4*...*2^2021 )
也就是
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )
而連續2的次方加總可以如下化簡
例如 2^8+2^7+2^6
=2^8+2^7+(2^7-2^6)
=2^8+2^8-2^6
=2^9-2^6
也就是說
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )
= k*( 2^(S+1) - 2^(S-2022) )
把 k = 1/2^S代入
(1/2^S) *( (2^(S+1) -2^(S-2022) )
=2 - 2^(-2022)
=2 - 1/ 2^2022
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.200.125.141 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1699717115.A.48E.html
推
11/12 00:07,
5月前
, 1F
11/12 00:07, 1F
→
11/12 00:07,
5月前
, 2F
11/12 00:07, 2F
→
11/12 00:08,
5月前
, 3F
11/12 00:08, 3F
推
11/12 00:43,
5月前
, 4F
11/12 00:43, 4F
推
11/12 06:25,
5月前
, 5F
11/12 06:25, 5F
討論串 (同標題文章)
