Re: [中學] 兩線段比例的極值(三角和向量)

看板Math作者deathcustom (Full House)時間6月前 (2023/10/26 11:44)推噓1(1推 0噓 3→)

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※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言： : https://imgur.com/a/4P3sxIF : 第一張圖是上上週在這裡問過大大們的，有Starvilo、Vulpix、deathcustom 等大大 : 給了許多好方法算出來答案，萬能k法、分母化型的算幾~~ 謝謝大大們 : 最後是由 deathcustom大大發現此四點共圓的觀察！ : ====== : 第二張圖其實也是我之前問過大大們的，可能是幾個月前吧… : 我後來回去看才發現根本是同一題，這次我用四點共圓的方式來做！簡單明瞭！ : 酷~~~ : ====== : 但是我完全證明不出來，為什麼P點跟ABB' (或BAA') 共圓時，兩線段的比例會有 : 極值… 想了一個星期了… 還是想不出來… : 所以整理一下兩題的題目跟細節想請大大們有空幫忙給點線索！！ : 謝謝！！！ let A = (Xa,Ya) B = (Xb,Yb) P = (x,0) A(x) = PA^2 = (Xa-x)^2 + Ya^2 B(x) = PB^2 = (Xb-x)^2 + Yb^2 for all PA>0 and PB>0 the extremum of PA/PB is corresponding to the extremum of (PA/PB)^2 let R(x) = [PA/PB]^2 = A(x)/B(x) R'(x) = [A'B-B'A]/B^2 the extremum exists at A'B=B'A A(x) = x^2 - 2Xa*x + Xa^2 + Ya^2 A' = 2x - 2Xa B(x) = x^2 - 2Xb*x + Xb^2 + Yb^2 B' = 2x - 2Xb A'B=B'A then we have: (x-Xa)(x^2-2Xb*x+Xb^2+Yb^2) = (x-Xb)(x^2-2Xa*x+Xa^2+Ya^2) 左側:x^3 - Xa*x^2 - 2Xb*x^2 + 2XaXb*x + (Xb^2+Yb^2)x - Xa(Xb^2+Yb^2) 整理得: x^3 - (Xa+2Xb)x^2 + (2XaXb+Xb^2+Yb^2)x - Xa(Xb^2+Yb^2) 同樣右側整理得: x^3 - (Xb+2Xa)x^2 + (2XaXb+Xa^2+Ya^2)x - Xb(Xa^2+Ya^2) 左側-右側得 (Xa-Xb)x^2 - [(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]x + Xb(Xa^2+Ya^2)-Xa(Xb^2+Yb^2)=0 得到兩解XM跟Xm的中心點(平均值)為： [(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]/[2Xa-2Xb] 兩解與中心點的間距為 sqrt{[(Xa^2+Ya^2)-(Xb^2+Yb^2)]^2/(2Xa-2Xb)^2-[Xb(Xa^2+Ya^2)-Xa(Xb^2+Yb^2)]/(Xa-Xb)} 經驗證，兩解(極大值與極小值)的確就是AA'BB'P共圓的圓與直線(x=0)相交兩點幾何上的說明可能就是要請其他大神了QQ 推廣一般化敘述：直線L外兩點A、B到直線L上一點P的長分別為PA、PB PA/PB的最大值與最小值出現在線AB的中垂線與直線L的交點C為圓心、通過AB兩點的圓與直線L相交的兩點上 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.23.191.211 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1698291878.A.BF0.html

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