Re: [微積] 這是什麼手法？
: 就突然令X1,X2，Y
: 請問數學高手們
: 這是什麼手法？
: 有人可以說的更明確細節或白話文嗎？
: 小弟我智商頗低，
: XD
寫這樣最直覺的目的就是降階
原本一個二階 θ" = f(θ)
變為兩個一階 x1' = x2
x2' = -(g/l)sin x1 --- (*)
把(*)式 左邊乘 x2，右邊乘 x1' 得
x2'x2 = -(g/l)x1' sin x1
兩邊首次積分得
(1/2) (x2)^2 = (g/l)cos x1 + constant
(1/2) (x2)^2 - (g/l)cos x1 = c 會對應某個守恆量
在這裡是力學能(當然兩邊必須再乘單擺質量之類的係數)
再舉個高中學過的簡諧運動
光滑水平面上的彈簧上的質點運動
以平衡點為原點可得 mx" = -kx
這個二階ODE很好解 (不像單擺的θ(t)無法用初等函數表達)
不過我們用以上的手法看看
令x1=x，x2=x1' 可得
mx2'=-kx1
兩邊分別乘x2與x1'得到
mx2'x2 = -kx1x1'
兩邊積分得
(1/2)m(x2)^2 = -(1/2)k(x1)^2 + c
(1/2)m(x2)^2 + (1/2)k(x1)^2 = c 對應的也是力學能守恆
其實也可以不用令x1,x2
再舉個行星受恆星萬有引力運動
假設恆星M不動，以恆星為原點 M>>m
m的運動方程為
^
mr"=-{GMm/|r|^2} r --- (**)
其中r為m的位置向量
|r|為r的大小(M m的距離)
^ r
r = ---
|r|
把(**)式兩邊跟 r' 做內積
^ ^ ^'
mr"r'=-{GMm/|r|^2} r (|r|' r + |r| r )
= -GMm|r|'/|r|^2 + 0
(1/2)m(r'r')' = {GMm/|r|}'
得到守恆量 (1/2)m|r'|^2 - GMm/|r| = c
這個手法稱為 first integral (of an ODE)
不過不是每個例子都能得到初等函數解
例如你課本上的單擺運動繼續做下去就會出現橢圓積分啦
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推
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