Re: [中學] 證明根絕對值為1
※ 引述《Dream (天使)》之銘言：
: a,b,c 為複數
: 已知：
: f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
: f(x) = 0的所有複數根，絕對值都為1
: 試證明g(x) = x^3 + |a|x^2 + |b|x + |c| = 0
: 所有複數根絕對值都為1
證明分3步驟
(1) 0 < |a| < 3
= =
(2)claim: |a|=|b|
(3)證明原題
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假設f(x)=0 三根為 α β γ
(1)
|a|=|α+ β+ γ| < |α|+|β|+|γ|=3
=
(2)
|b|=| αγ+ βγ+αβ|=| αγ+ βγ+αβ|*|γ霸| =|α+ β+ αβ(γ霸)|
欲證明|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)|
(i)若αβ(γ霸) + γ=0 或 α+ β=0 顯然上述結果成立
(ii)若 αβ(γ霸) + γ≠0 且 α+ β ≠0
令複數平面上 α, β, γ 的主幅角為 θ1, θ2, θ3
可知 αβ(γ霸) 的幅角為 θ1 + θ2 - θ3
γ 的幅角為 θ3
=> αβ(γ霸) + γ 的幅角為 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度
又 α+ β 的 幅角也為 (θ1 + θ2)/2 或是 (θ1 + θ2)/2+180度
視為向量來看就是 α+ β的方向 與 αβ(γ霸),γ 之間的角平分線方向 平行
(PS αβ(γ霸) + γ≠0 所以圖示上 會有角平分線方向)
示意圖 https://i.imgur.com/DzShKmT.jpg
因此|α+ β+ γ| = |α+ β+ αβ(γ霸)|
=> |a|=|b|
(3) 考慮 (1-|a|)/2 由(1)知此數 -1 < (1-|a|)/2 < 1
= =
取適當θ 使得 cosθ=(1-|a|)/2 , sinθ>0 (這裡的sin是根據cos對應的選擇)
=
令 ω= cosθ +isinθ
ω'=cosθ -isinθ
ω+ω'+ (-1)= 2cosθ-1 = -|a|
-ω -ω' +ωω'= -2cosθ+1 =|a| =|b|
ωω' (-1)=-1 = -|c|
故 ω , ω' , -1 為 g(x)=0 三根
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推
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