[線代] 一題證明優化
請問一下我對於自己證明下面的性質感覺有點繞路:
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令 V為佈於F的內積空間, F = R or C
v,w€V為兩向量
若 |<v,x>| = |<w,x>| for any x€V ---(a)
則 v = c*w, for some c€F with |c| = 1
pf: 取 x=v 得到 |v|^2 = |<v,w>| ---(b)
取 x=w 得到 |w|^2 = |<v,w>|
(b)兩式得到 |v|=|w| ---(c)
結合(b)與(c)得到|<v,w>|=|v||w|, 因此柯西不等式得到v=c*w ---(d)
最後由(c)與(d)得到|c|=1(若v或w=0, 那c是任意數因此也取1) ---(e)
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也就是說, 證明順序是: (Step 1) (a) => (b)
(Step 2) (b) => (c)
(Step 3) (b)∩(c)∩Cauchy => (d)
(Step 4) (d)∩(c) => (e)
我總覺得這個順序有點繞繞的...感覺可以優化
當然我知道不少定理的證明也是由原條件先去推出某性質
再把這個推出來的性質代回原條件(取交集)然後繼續推演下去
但是這個證明繞的程度經驗上給我一種可以優化的感覺...
謝謝幫忙~
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推
10/14 02:13,
1年前
, 1F
10/14 02:13, 1F
欸!! 對耶...我突然聯想到之前跟朋友討論過的XDD
令T(x):=<x,v>, U(x):=<x,w>
則條件推得 span{v}^⊥ = span{w}^⊥
因此 span{v} = span{w}, 得證
而這個跟L大你說的應該一樣, 因為N(T) = span{v}^⊥, N(U) = span{w}^⊥
謝謝提供~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/14/2022 02:25:05
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/14/2022 02:45:31
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