Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

看板Math作者 (Sebastian)時間3年前 (2022/09/13 22:59), 3年前編輯推噓4(4推 0噓 17→)
留言21則, 3人參與, 3年前最新討論串6/6 (看更多)
這篇回應關於 pseudo inverse 的想法。 還是用這個舉例 : y_n - y_{n-1} = x_n : y_n = y_{-∞} + (u＊x)_n : 或 : y_n = y_{∞} + [(u-1)＊x]_n : 在 y_{-∞} 存在的情況下，u 可以是脈波響應。 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 以上矩陣是差分算子的矩陣表示，然後我砍掉（truncate）了一些東西。 其偽反矩陣： 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 這個矩陣與 u＊ 的作用相似。 : 而在 y_{∞} 存在的情況下則換成可以拿 u-1 當作脈波響應。 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 1 0 0 0 -1 以上矩陣也是差分算子的矩陣表示，然後我又砍了一些東西。 其偽反矩陣： -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 這次矩陣跟 (u-1)＊ 長得比較像了。 : 兩個脈波響應只差了 1（此為齊次解），都同樣能有作用， : 即使 u＊x 與 (u-1)＊x 算出來不一樣，但只要存在，他們就的確都是特解。 : 是相應於不同邊界條件的特解。 : 而此時會受到初始條件影響的東西，是 y_{-∞} 和 y_{∞}。 : 也就是說，不同初始條件與特解（那個捲積）的計算過程無涉， : 但是會改變齊次項。 砍矩陣的時候下刀的方式不同，其實就是在考慮不同的邊界條件。 第一個差分矩陣左上角是 1，代表在擴大矩陣的時候，y_n 最前面的那項要一直能算。 第二個差分矩陣右下角是 -1，代表最後項要一直存在。 這與我們的邊界條件概念上是相符的。 其實還有其他下刀的方式，出來的偽反矩陣我還沒想到解釋，就放生了。 至於一般的線性算子要怎麼算偽反矩陣我沒去研究，最近沒空。 但是數列到數列、函數到函數的這種，一定要考慮邊界行為。 跟提問「iD 是 Hermitian 算子嗎？」一樣要考慮邊界。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1663081163.A.9A2.html ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 09/13/2022 23:32:14
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09/14 00:52, 3年前 , 1F
總之我認為「偽解與捲積是一致的」這個猜想應該沒
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09/14 00:52, 3年前 , 2F
問題，只是前置條件要寫好。
09/14 00:52, 2F
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09/14 00:55, 3年前 , 3F
如果是在這個情況下，偽解的確是很特別的特解。但
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09/14 00:55, 3年前 , 4F
是「這個情況」其實是指著邊界條件在說的，此時特
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09/14 00:55, 3年前 , 5F
解就是唯一解，「特別」也就理直氣壯了。
09/14 00:55, 5F
推
09/14 01:10, 3年前 , 6F
謝謝V大觀點, 這樣也是一個把線性方程與差分方程拉
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09/14 01:10, 3年前 , 7F
在一起的一種方式了~
09/14 01:10, 7F
推
09/14 01:16, 3年前 , 8F
分享一下我前幾天卡住的觀點XD 我把線性方程Ax=b的
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09/14 01:16, 3年前 , 9F
那一個特別的特解定義成"Ax=b中的x與{Ax=0}垂直的x"
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09/14 01:16, 3年前 , 10F
, 自然就獲得x是唯一解並且x=A^+b, 但是這個觀點需
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09/14 01:16, 3年前 , 11F
要內積空間, 這個限制在實或是複矩陣自然成立, 但是
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09/14 01:16, 3年前 , 12F
在實或是複差分方程我就不知道怎麼定義內積了...兩
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09/14 01:16, 3年前 , 13F
個解y1_n與y2_n的內積是...XD 放棄, 這個觀點可以
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09/14 01:16, 3年前 , 14F
給Ax=b那個特別的特解很好的刻劃, 可是無法延伸到差
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09/14 01:16, 3年前 , 15F
分方程QQ
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09/14 05:59, 3年前 , 16F
一個簡單的內積定義就是逐項積的和啊。不能算內積
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09/14 05:59, 3年前 , 17F
的數列就先排除掉，之後再說。
09/14 05:59, 17F
推
09/14 11:04, 3年前 , 18F
了解~
09/14 11:04, 18F
※ 編輯: Vulpix (163.13.18.218 臺灣), 09/14/2022 13:20:44
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09/16 01:21, 3年前 , 19F
回頭一看，我選的都是方陣，還可逆XD
09/16 01:21, 19F
推
09/16 10:36, 3年前 , 20F
所以解空間變成唯一解XD
09/16 10:36, 20F
其他看起來比較合理的下刀方式： -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 偽反矩陣： -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 這個應該下不同的條件就可以讓他看起來收斂到適當的 u+c 上吧。
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09/16 18:35, 3年前 , 21F
Least-norm solution
09/16 18:35, 21F
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 10/05/2022 02:45:37
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