Re: [分析] 雙向遞迴數列的推導問題

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間3年前 (2022/09/08 18:18)推噓14(14推 0噓 58→)

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謝謝V大回應, 推文很難看, 我逐段以這色回文 ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言： ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 嗨r大, 最後問個實作與理論結合性的問題: : 考慮 y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1) 這個差分方程 : 使用雙向Z轉換的話, 可以找到三個h_n使得y_n = (h＊x)_n, 分別是: : : h1_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n + 1.2*2^n*u_n : h2_n = 0.8*(-1/2)^n*u_n - 1.2*2^n*u_(-n-1) : h3_n = -0.8*(-1/2)^n*u_(-n-1) - 1.2*2^n*u_(-n-1) : : 其中u_n := 1 , n>=0 : 0 , n<0 這三個對應的 H 剛好有著互斥的 ROC。而彼此之間的差，會是 (-1/2)^n 和 2^n 的線性組合。令這三個h叫作h1_n, h2_n, h3_n 這是指(1) h1_n - h2_n = A*(-1/2)^n + B*2^n 還是指(2) (h1＊x)_n - (h2＊x)_n = A*(-1/2)^n + B*2^n, 其中A,B與x有關 --(●) 而依照後續回應, 假設您說的是(2) 所以原方程的一般解應該是 A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n。最後那項只是個特解，是我們希望要有某種性質的特解。例如：當 n<0 時，y=0。這裡說的原方程的一般解, 嚴格敘述是否如下: 令x_n固定, 則解空間 S:= {y_n│y_n - (3/2)*y_(n-1) - y_(n-2) = 2*x_n - x_(n-1)} 會滿足 S = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h＊x)_n│A,B€R} 若是的話, h是哪一個h? 還是任意一個都可以也就是說, {A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n│A,B,a,b,c€R} = {A*(-1/2)^n + B*2^n + (h1＊x)_n│A,B€R} ((●)可立得此等號) V大是這個意思嗎? 雖然解了三個 h 出來，但其實能用的 h 還有無限多個。而這三個之所以特殊，就是因為他們各自對應一些邊界條件。能用的h無限多個就是h1,h2,h3的線性組合? 可是因為這三個h的ROC不一樣, 把他做線性組合我怎麼覺得抖抖的XD 還是說做了線性組合後(比如h:=h1+h2+h3), 可以做時域摺積h＊x 但是就不能做z轉換了, 因為ROC互斥, 這就是我覺得抖的地方? : : 接著有兩個實作上的問題: : (1) 單純考慮差分方程有無窮多組解(初始值決定) : 我怎麼知道要怎麼設初始值, 才是我要的對應到的h_n的y_n? : 例如取怎樣的x跟y的初始值則會有解y_n會等於(h1＊x)_n : 如果 x 項數有限(compactly supported)，那任何一個 h 都無所謂。而如果 x 沒有 compact support 的話，就得看 X 的 ROC 了。的確如推文中 r 大所言，要找有交集的去算。但問題也在這裡，x_n = 1 這個 1 數列，他的 X 是處處不收斂的。而這個數列好像也在你有興趣的範圍裡面（BI），所以總有打交道的機會。我的原問是"如何選定初始值", 而您回應任何一個h都無所謂是不是因為: 若x有緊緻支撐則拿h1,h2,h3的任意線性組合當h所得到的y_n := (h＊x)_n 都會是相同的y_n? 即{y_n│((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n, for any a,b,c}的元素個數只有1 這結論好像怪怪的...我應該是有誤會你"任何一個h都無所謂"的意思了? 而且即便是對的, 跟原問題說的"如何選定初始值"存在怎樣的關係呢? 隨便選初始值 => 解y_n = A*(-1/2)^n + B*2^n + ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n for some A,B,a,b,c€R 然後我就看不出來當x有緊緻支撐時, ((a*h1+b*h2+c*h3)＊x)_n這項為什麼會一樣 : (2) 假設(1)的問題完美解決, 即針對我要的h我都可以找到我要的初始值 : 那選哪個h重要嗎? 因為這三個h的H(z)都一樣(只是不同ROC) : 所以頻率響應 H(exp(iw))也是一樣的(甚至相位都一樣), : 那我隨便選一個h來當filter不就相同效果? 畢竟這些 h 其實是這樣找出來的：脈衝δ(0,n)輸入的響應。所以 h 自然與 x 無關。而任何一個 x 都可以看成是 δ＊x。所以 y_p 也自然就會是 h＊x，而一般的 y 就是跟 y_p 差個齊次解。上面這兩段給我一種"好像理解了什麼"的感覺, 但是又說不上來XD 如果我先給了h, 那令x_n=δ(0,n), 自然得到 h_n = (h＊x)_n 而x_n = (δ＊x)_n 能類推 y_p_n = (h＊x)_n, 就只能說略懂略懂... 上述過程與微分方程中，藉由源項δ(x-x')來找出響應 G(x,x') 的方式相同。所以在找 Green's function 中用到的方法、遇到的困難，在這裡也都能看到離散的版本。沒學過連續型Green's function, 目前難以做類推QQ 另外V大這大段的回應, 針對我原問"隨便選一個h來當filter不就相同效果"的結果是yes? 也就是說, 今天不管我怎麼選h = a*h1+b*h2+c*h3, 我都可以做y_n = (h＊x)_n 其中y_n會滿足差分方程(因此是解) 但是這樣又很奇怪, 因為h1,h2,h3有互斥ROC, 一旦做了線性組合, 只要其中兩個係數不是0, 那就不能做z轉換, 因此論及頻率響應就毫無意義, 因為不收斂 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662602751.A.966.html

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