Re: [分析] 差分係數與反Z轉換絕對和關係

看板Math作者bluepal (我蓮蓬頭達人QK啦)時間3年前 (2022/09/08 00:38)推噓6(6推 0噓 55→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 想請問一下給定係數a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0 : 定義H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2) : 令分母的零點為p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|} : 並假設 R < 1 : 則我們知道H(z)可以在{|z|>R}展開成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n) : 我想知道 Σ_{n=0} |h_n| 跟這些係數有什麼公式上的關係? : P.S. (1) 如果分子跟分母的零點有相同, 那只會讓展開範圍更大而已 : (2) h_n = 0 for all n < 0是因為我取最外面的ROC, 因此是causal case : (3) 假設R<1是為了讓 Σ_{n=0} |h_n| < ∞ : ----------------------------------------------------------- : 問題動機如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺積) : 我們知道一個LTI系統是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ : 而且當BIBO時, 若|x_n| <= M 則 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n| : 今天我用差分方程實作y_n時, 我想要控制y_n的範圍 : 因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n| : 另外google查過 "maximum output iir" 這類的關鍵字沒得到想要的結果 : 順帶一提, 我原本認為看 |H(exp(iw))| 的最高點即可 : 也就是說, 假設|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π] : 我原本以為會有 " 若|x_n|<=M, 則|y_n|<= G*M " : 因此只要把輸出除以G, 就能把輸出控制在一樣的M內 : 但是很容易有反例 : 還是說其實真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高點即可, 只是係數要配好? : =========================================================================== : 謝謝幫忙~ 想釐清一下問題是否是這樣: 已滿足BIBO stability condition的一邊(sufficient) y_n := (h＊x)_n (1) |x_n| <= M (2) <h_n>1 :=Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ (我用< >1表示1-norm不然很醜) 可證明|y_n| bounded by: |y_n|<= M乘<h_n>1 因為實用上雖然已知|y_n| bounded 但想控制y_n 需要<h_n>1的值所以想至少拿到上界? 如果是這樣 H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2) 上下都是degree為2的多項式建議先相除再改為partial fraction的形式: 所以可以整理成 H(z)=C_2 + C_0/(z-p_0) + C1/(z-p_1) * p_0, p_1是你上面寫的poles C_i是由你的係數決定的複數 i=0, 1, 2 三角不等式: |H(x)|< |C_2| + |C_0/(z-p_0)| + |C1/(z-p_1)| (粗略想法而已後面直接展開了) 而且我們知道Lorentz展開有唯一性可以討論形式 C/(z-p) z, C, p都是複數你的case在poles外面展開且R<1 令 |p|<|z|, 1<|z| (選絕對值大於1的|z|) C/(z-p)=(1/z)[C/(1-p/z)] ,因為|p/z|<1 =(C/z)(Σ_{n=0} h3_n * z^(-n)) , for some h3_n€C (這邊只是1/(1-r)展開) =C(Σ_{n=1} h3_n * z^(-n)) 其實 h3_n=p^(n-1) 式* 中第二第三項可以展開成上面形式得到: H(x)= C_2 + C_0(Σ_{n=1} h0_n * z^(-n)) + C_1(Σ_{n=1} h1_n * z^(-n)) for some C_0, C_1, h0_n, h1_n€C 其實 h0_n=(p_0)^(n-1) h1_n=(p_1)^(n-1) 三角不等式: |H(x)|< |C_2| + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n|*|z^(-n)| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n|*|z^(-n)| < |C_2| + |C_0|Σ_{n=1}|h0_n| + |C_1|Σ_{n=1} |h1_n| ,因為|z|>1 ^^^^^^^^可以求和回去 ^^^^^^^^可以求和回去 : 令M0 令M1 : 唯一性: h_n=C0乘h0_n+C1乘h1_n : h_0=C2 : 三角不等式(取|z|>1): <h_n>1<=|C_2| + |C0|乘M0 + |C1|乘M1 原本要控制<h_n>1 現在改成控制|C_2|, |C_1|, |C_0|, |p_0|, |p_1| 拿到一個很粗糙上界不知道有沒有幫助? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662568713.A.755.html ※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/08/2022 00:46:34

推

znmkhxrw

09/08 17:27, 3年前 , 1^F

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znmkhxrw

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znmkhxrw

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