[分析] 差分係數與反Z轉換絕對和關係

看板Math作者 (QQ)時間1年前 (2022/09/06 14:28), 1年前編輯推噓1(1推 0噓 11→)
留言12則, 2人參與, 1年前最新討論串1/2 (看更多)
想請問一下給定係數a_0,a_1,a_2,b_0,b_1,b_2, 其中a_0, a_2!= 0 定義H(z):= (b_0*z^2 + b_1*z + b_2)/(a_0*z^2 + a_1*z + a_2) 令分母的零點為p_0, p_1, 其中R:=max{|p_0|, |p_1|} 並假設 R < 1 則我們知道H(z)可以在{|z|>R}展開成H(z) = Σ_{n=0} h_n * z^(-n) 我想知道 Σ_{n=0} |h_n| 跟這些係數有什麼公式上的關係? P.S. (1) 如果分子跟分母的零點有相同, 那只會讓展開範圍更大而已 (2) h_n = 0 for all n < 0是因為我取最外面的ROC, 因此是causal case (3) 假設R<1是為了讓 Σ_{n=0} |h_n| < ∞ ----------------------------------------------------------- 問題動機如下:(y_n := (h＊x)_n, ＊是摺積) 我們知道一個LTI系統是BIBO <=> Σ_{n€Z} |h_n| < ∞ 而且當BIBO時, 若|x_n| <= M 則 |y_n| <= M*Σ_{n€Z} |h_n| 今天我用差分方程實作y_n時, 我想要控制y_n的範圍 因此我才想要拿到Σ_{n=0} |h_n| 另外google查過 "maximum output iir" 這類的關鍵字沒得到想要的結果 順帶一提, 我原本認為看 |H(exp(iw))| 的最高點即可 也就是說, 假設|H(exp(iw))|在[0,2π]有global maximum G at w_0€[0,2π] 我原本以為會有 " 若|x_n|<=M, 則|y_n|<= G*M " 因此只要把輸出除以G, 就能把輸出控制在一樣的M內 但是很容易有反例 還是說其實真的可以只看|H(exp(iw))| 的最高點即可, 只是係數要配好? =========================================================================== 謝謝幫忙~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.109.95 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1662445683.A.FE1.html ※ 編輯: znmkhxrw (114.25.109.95 臺灣), 09/06/2022 15:03:18
推
09/06 18:06, 1年前 , 1F
分母的零點為什麼有三個啊？
09/06 18:06, 1F
啊 謝謝 筆誤 兩個而已 ※ 編輯: znmkhxrw (42.79.101.191 臺灣), 09/06/2022 22:09:11
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09/07 10:02, 1年前 , 2F
h(n) is impulse response
09/07 10:02, 2F
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09/07 10:03, 1年前 , 3F
Then, apply Parseval's equality
09/07 10:03, 3F
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09/07 10:20, 1年前 , 4F
and Cauchy's inequality
09/07 10:20, 4F
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09/07 11:07, 1年前 , 5F
重點是檢查filter stability吧 這個網路恨多資料
09/07 11:07, 5F
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09/07 11:07, 1年前 , 6F
不用執著求那個absolute sum
09/07 11:07, 6F
我之前有查DTFT的Parseval identity, 形式上是時域的2-norm並非是BIBO的1-norm, 所 以我就當作沒作用了耶 另外r大你說可查filter stabilty這個關鍵字以及不用執著absolute sum, 我查filter s tability多半在講pole的分布VS是否BIBO, 是有其他的我沒找到嗎 我今天的問題是我知道BIBO了, 但我想要知道這個"上界"在哪
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09/08 01:13, 1年前 , 7F
哈 搜了一下 不是本來以為簡單 只有在單位圓上收斂
09/08 01:13, 7F
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09/08 01:13, 1年前 , 8F
的條件不保證h為l1
09/08 01:13, 8F
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09/08 01:15, 1年前 , 9F
但在包含單圓的一個環帶中各點收斂就足夠了
09/08 01:15, 9F
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09/08 01:23, 1年前 , 10F
09/08 01:23, 10F
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09/08 02:03, 1年前 , 11F
當然如果是BA係數來的filter 知道poles都在單位圓
09/08 02:03, 11F
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09/08 02:03, 1年前 , 12F
內部 那就已經滿足了在包含單位圓的一個環帶上收斂
09/08 02:03, 12F
嗨r大, 我怎麼覺得這部分的推文跟我想知道的"上界在哪"沒有關係@@? 你這個推文跟連結應該是在表達: (1) 在單位圓上處處收斂 不代表 在單位圓上絕對收斂(h是L1), 反之成立 (2) 在一個包含單位圓的環帶處處收斂 可推得 在單位圓上絕對收斂 (pf: 冪級數的Abel定理) 但是(1)&(2)好像跟我的問題沒關係XD ※ 編輯: znmkhxrw (36.230.129.81 臺灣), 09/08/2022 17:25:09
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