Re: [其他] 質數多or完全平方數多
※ 引述《buffalobill (水牛比爾)》之銘言：
: 1到10000裡
: 完全平方數的數量有100個(1^2, 2^2, 3^2... 100^2)
: 質數的數量有1229個
: 1到1000000裡
: 完全平方數的數量有1000個(1^2, 2^2, 3^2... 1000^2)
: 質數的數量有78498個
: 看起來質數的數量遠遠大於完全平方數的數量
: 但我好奇會不會到某個很大很大的數字之後
: 質數的數量就比完全平方數還少？
: 還是有什麼辦法證明質數的數量會一直大於下去
引用 Prime Number Theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem#Statement
令 P(x) 為不大於x的質數數量
則 lim P(x)*ln(x)/x = 1
x->∞
令 S(x) 為 不大於x 的平方數數量
0 <= S(x)/P(x) <= √(x)/P(x) = √(x)/x*ln(x) * [x/P(x)/ln(x)]
lim √(x)/x*ln(x) = 0
x->∞
lim x/P(x)/ln(x) = 1
x->∞
所以 lim S(x)/P(x) = 0
x->∞
--
令人心跳加速的購物旅程
https://i.imgur.com/zre1bf4.jpg
原出處：https://twitter.com/Hairi_1617/status/1521780942221631489
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1656651015.A.6FE.html
→
07/01 12:51,
3年前
, 1F
07/01 12:51, 1F
→
07/01 12:53,
3年前
, 2F
07/01 12:53, 2F
如若我能證明 lim S(x)/P(x) = 0
x->0
那選定 ε= 0.9 ，必然存在一個 M 使得 所有 x > M 都有 S(x) < P(x)*ε < P(x)
這樣就沒有某個數字後逆轉的問題了吧？
→
07/01 13:22,
3年前
, 3F
07/01 13:22, 3F
原po想問的是"某個很大很大的數字之後"的表現
我這裡證明的是 某個很大很大的數字之後，平方數都會比質數少
※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 07/01/2022 13:55:11
討論串 (同標題文章)