Re: [機統] 信賴區間的推導過程疑問

看板Math作者yhliu (老怪物)時間1年前 (2022/06/14 10:13)推噓2(2推 0噓 10→)

留言12則, 4人參與討論串2/2 (看更多)

[問］統計問題假設抽樣來自常態分佈 1.如果已知母標準差，則樣本平均的分佈亦為N(u, sig/sqrt(n))，則可用 (x bar - u ) / (sig/sqrt(n))方式計算區間 2.如果不知道母標準差，則上述的標準差用無偏估計s/sqrt(n-1)取代sig/sqrt(n) 但取代後(x bar - u ) / (s/sqrt(n-1））已不為常態分佈（而是t分佈），就有人去研究t分佈長相，所以根據此分佈計算區間我想問的是，既然是因為有研究才知道t分佈，而可以解決此類估計問題，那當初可否不用無偏標準差，而直接採用 (x bar - u ) / (s/sqrt(n))，然後取名xx分佈，再去研究xx分佈，一樣可以透過樣本平均跟樣本標準差去估計母平均呢？ [回］當常態群體僅平均數未知時，Xbar - mu 的分布和未知參數無關，也就是說可以得到其分布，其分位數，因而可以取一區間 [a,b] 具有預定機率，從中導得 mu 的信賴區間。當然以 Xbar 之標準差 sigma/sqrt(n) 去除，而得 Z 變量，結果具標準化常態分布，得類似的區間，從而亦得出 mu 的某一水準的信賴臨間。當常態群體有平均數 mu, 標準差 sigma 兩參數未知時，Xbar - mu 之分布仍依賴 sigma，所以需再以一個分布和 sigma 有關的統計量調整，於是取代 Z 的 t 變量 (用樣本標準差代替 Z 定義式中的群體標準差是自然的考慮，而統計學者發現 t 變量的分布與未知參數 mu, sigma 皆無關，並命名此分布為 t 分布。同樣可以計算其各分位數，因此可以得預定機率的一個區間，並得到 mu 的某一水準的信賴區間。如果 s 是所謂樣本標準差 s = sqrt(sum(Xi-Xbar)^2/(n-1)), 則 t 變量是 t = sqrt(n)(Xbar-mu)/s, 如果 s 計算式中分母用 n, t 變量才是 t = sqrt(n-1)(Xbar-mu)/s. 是否一定要用 t = sqrt(n)(Xbar-mu)/s？用其他指標可以不可以？例如用樣本全距或四分位距代替 s？我想應該可以，例如全距　R = X(n)-X(1) = [(X(n)-mu)/sigma - (X(1)-mu)/sigma]*sigma 上式表示 R/sigma 的分布會和 mu, sigma 均無關，所以 T = sqrt(n)(Xbar-mu)/R 的分布也將會與 mu, sigma 無關，因此其分布可以確定。那麼，為什麼用 t 而不用上述 T？原因之一是 t 的分布已經被得到；原因之二是：基於統計假說檢定問題 H0: mu = mu0 against H1: mu != mu0 從最強力檢定的觀點，可以導出 t 檢定是 "一致最強力不偏檢定"，也就是說在所有不偏檢定中，基於 t 之檢定具有一致最強的檢定力。而 mu 之信賴區間和一系列的 mu=mu0 vs. mu!=mu0 的檢定問題可以說是相當的，因此基於 t 變量的信賴區間也具有某種最佳性因此，就不必再考慮其他種信賴區間了。當然，這只是在樣本隨機抽自常態群體時是這樣，如果群體不確定是常態，或確定不是常態，那就需考慮其他信賴區間了。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.146.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1655172795.A.118.html

→

DIDIMIN

06/14 10:34, 1年前 , 1^F

06/14 10:34, 1^F

→

DIDIMIN

06/14 10:35, 1年前 , 2^F

06/14 10:35, 2^F

推

kanx

06/14 19:56, 1年前 , 3^F

06/14 19:56, 3^F