Re: [機統] 想問，如何「推導」出半衰期公式
※ 引述《pennyleo (今朝有酒今朝醉)》之銘言：
: 想問
: 大二工數就教我們算半衰期，這大家都知道
: 但我想問，如何由機統的方向，導出半衰期公式
: 是否要從每個粒子的時間序列出發，再利用哪幾項大數定理？
: 還有，若核種彼此存在交互作用，要如何處理？
: 例如衰變出的一個粒子去撞其他粒子。
: 可否請高手們，提供一下思路
: 例如引用哪些定理？
: 非常感謝
https://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay#Universal_law
首先我們提出一個假設：
The mathematics of radioactive decay depend on a key assumption that a
nucleus of a radionuclide has no "memory" or way of translating its history
into its present behavior. A nucleus does not "age" with the passage of time.
Thus, the probability of its breaking down does not increase with time but
stays constant, no matter how long the nucleus has existed
衰變的粒子沒有所謂的「記憶」的跡象。
也就是說，某個會衰變的粒子：
(1) 10秒內沒衰變的情況下，在10~11秒內衰變
(2) 100秒內沒衰變的情況下，在100~101秒內衰變
上面兩事件發生的機率是一樣的
下面的推導都建立在同意上面那個假設。不同意的話可以左轉了
喔對了，還有另外一個假設是粒子們的衰變相互是獨立事件
粒子衰變的時間呈現 exponential distribution
這是因為基於上面的假設，令 T 為粒子發生衰變的時間
對於任意非負數 a,b，上面那個「沒有老化跡象」用數學語言寫出來是
Pr(T > a+b | a) = Pr(T > b)
這樣子我們就足以得到：存在某個正數λ, Pr( T > t ) = exp(-λt) for each t > 0
而這個 λ = 1/粒子平均衰變時間
一大坨衰變粒子的分析
假設在時間 t = 0 的時候有 n 個衰變粒子
令 N(s) 為 t=s 時候衰變粒子的數量 ，所以 {N(t)}_{t>0} 是一個隨機程序
好啦，那現在讓 t=s ，我們怎麼估計 N(s) 有多少？
現在我們把這群粒子打上 1~n 的編號，
對於任意一個 1<=i<=n, 定義:
Xi = 1 ,如果粒子i發生衰變
0 ,如果粒子i還沒發生衰變
E[X1] = E[X2] = ... = E[Xn] = Pr(Xn=1)
= 1-exp(-λs)
n
為了方便，令 Sn = Σ Xi
i=1
這樣我們就可以馬上得到
N(s) = N(0) - Sn
= n - Sn (almost surely)
然後呢，對於 ΣXi 我們有
P( lim Sn/n = E[X1] ) = 1 (Strong law of large number)
接著開始繼續推論：
1 = P( lim Sn/n = E[X1] )
= P( lim Sn/n = 1-exp(-λs) ) (E[X1] = 1-exp(-λs))
= P( lim (n-N(s))/n = 1-exp(-λs) ) (Sn = n-N(s) alost-surely)
= P(1 - lim N(s)/n = 1 - exp(-λs) )
= P(lim N(s)/n = exp(-λs))
所以上面的 P(lim N(s)/n = exp(-λs)) = 1 隱含的訊息是：
N(s)/n 這個隨機變數在 n 很大的時候會很接近 exp(-λs)
而那個 n 是 N(0), 也就是 t=0 的粒子數量
因此我們可以給定一大坨衰變粒子數量「半衰期」的模型：
也就是 N(t) = N(0)exp(-λt)
= N(0) 2^(-t/T) , T = 1/(λlog2(e))
其實你如果願意直接接受
-dN/dt 正比於 N
倒是馬上可以得到半衰期的模型
Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay#One-decay_process
最後推薦一個我剛剛寫文章時候在聽的工作用背景音效 :)
Relax to the Sounds of an Open Campfire
Link: https://youtu.be/1hgxyjPAgvA
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.135.233 (美國)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1645519964.A.BA3.html
※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 02/22/2022 16:58:31
推
02/22 22:35,
2年前
, 1F
02/22 22:35, 1F
推
02/22 23:06,
2年前
, 2F
02/22 23:06, 2F
推
02/23 20:33,
2年前
, 3F
02/23 20:33, 3F
推
02/23 22:22,
2年前
, 4F
02/23 22:22, 4F
推
02/25 16:28,
2年前
, 5F
02/25 16:28, 5F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：