Re: [分析] 同軌跡與起終點的Jordan曲線是等價(Solved)
切2段做不出來的話，就切3段~~
固定a<x<y<b，記f(a)=f(b)=P, f(x)=Q, f(y)=R
取u,v使得g(u)=Q, g(v)=R, 同時已知 g(c)=g(d)=P，不失一般性可設c<u<v<d
又記緊緻連通集 f([a,x])=A, f([x,y])=B, f([y,b])=C
則A交B={Q}、B交C={R}、C交A={P}
考慮連通集X = g((c,u)) 則 X交A、X交B、X交C兩兩不相交，且聯集=X
故其中1個為X，其餘2個為空集合。
因P,Q in g([c,u]) in closure of X，3種可能中只可能是X <= A，g([c,u])<=A
由f,g兩者之對稱性A<=g([c,u])，從而A=g([c,u])
同理 B=g([u,v])、C=g([v,d])
這樣就可以安全地對A、B、C分開使用Thm 1.，再兜起來就可以了。
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 定義:
: <Def1> A path f is a continuous function f:[a,b]→R^n
: <Def2> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n are equivalent
: if there exists continuous, strictly monotonic and onto
: u:[a,b]→[c,d] s.t. f=g。u
: <Def3> Two paths f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n have the same trajectory
: if range of f = range of g
: <Def4> A Jordan curve is a path f:[a,b]→R^n
: s.t. f(a)=f(b) and f is 1-1 on [a,b)
: 已知:
: <Thm1> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two 1-1 paths
: Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory
: 想問:
: <Thm2> Let f:[a,b]→R^n, g:[c,d]→R^n be two Jordan curves
: s.t. f(a)=f(b)=g(c)=g(d)
: Then f is equivalent to g <=> f and g have the same trajectory
: (想證<=, 另外一個方向是trivial)
: 想法:(令共同的起終點為p, 共同的軌跡為J)
: 1. 因為不是全域1-1, 所以無法直接使用<Thm1>的結果, 也無法直接複製<Thm1>的證明
: 2. 想把[a,b]切成[a,x]∪[x,b], [c,d]切成[c,y]∪[y,d]分成兩段引用<Thm1>
: 3. 令F:=f|_(a,b), G:=g|_(c,d), 所以F,G是1-1且onto J-{p}
: 4. 任取x€(a,b), 且令 y:= G^-1(F(x))
: 5. 想證明: either (1) or (2) happens
: (1) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(c,y)
: 則f[a,x] = g[c,y] & f[x,b] = g[y,d]
: (2) 若存在x_1€(a,x) 使得G^-1(F(x_1))€(y,d)
: 則f[a,x] = g[y,d] & f[x,b] = g[c,y]
: 6. 對5.就能引用<Thm1>去把兩段連續單調函數接起來
: 卡住的點:
: 證不了5.
: 想了好幾天, 覺得應該很簡單, 應該用connected, compact, continuous這些性質兜出來
: 我猜關鍵是證明F^-1與G^-1是連續函數然後去觀察G^-1(F[x_1,x]), 但是也不知道怎麼證
: 因為連續函數的反函數不一定是連續的, 除非定義域是緊緻的就能確保
: 而這裡F與G的定義域都不是緊緻集合
: 還是說我證不出來是因為<Thm2>根本不成立...存在奇形怪狀的反例Jordan曲線?
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: 謝謝幫忙!
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