Re: [分析] Fourier 轉換一題
※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: 標題: Re: [分析] Fourier 轉換一題
: 時間: Sun Oct 24 22:10:00 2021
:
: ※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之銘言：
: : 已知 Fourier 轉換 F 將
: : 1. 微分算子轉換為 multiplicative 算子；
: : 2. 將卷積算子轉換成逐點相乘的算子。
: : 請問 1 是否導致 2？
: : 亦即我考慮一個線性算子 L 滿足 1，盡可能不假設其他條件下，是否會滿足 2？
: : 佳佳
先講結論，我不認為應該期望這件事。根據V大所寫
: 1: LD = ΛL for some diagonal operator Λ
:
: 所以 1 這個條件可以直接看成是在對 D 做對角化，L 是 "diagonalizer"。
...
: 如果不這麼做的話，至少 1 的形式化已經說明了這是 D 的對角化問題，
:
: 而 D 的 eigenfunction 就是各個指數函數。
我認為這是在說要把整個空間用D的Eigenspace當基底展開。在Fourier transform時，
Λ=2πix。這似乎是在說我們希望L(e^(2πicx))=δ(x-c)，並且期望當
f = ∫g(c) e^(2πicx)dc, L(f)(c) = g(c)。
如果我們相信這是對的，應該要去證明L就是Fourier transform。
但是我們並不需要L(e^(2πicx))=δ(c)來滿足對角化的條件。可以隨便找個函數h(c)，
L:=h(c) times Fourier transfrom 滿足L(e^(2πicx))=h(c)δ(c)。他滿足條件1，但沒
有條件2。他會滿足 hL(f﹡g)=L(f)L(g)。
更一般地，如果L滿足條件1，hL也滿足條件1，但是基本上不會滿足條件2。
這件事就是在對角化D的時候選不同的基底。
因此我認為該問的是，在怎樣的條件下會存在一個h滿足hL(f﹡g)=L(f)L(g)，這個等式可
能是函數或是distribution。
: L 可能不一定要是 Fourier transform，但應該還是 ∫exp(zx)f(x)dx 這種類型，
:
: 也就是 chy 提到的 exponential kernel。
:
: Fourier transform 的 z 取在虛軸上，應該還有其他線可以用，可以走彎的嗎？
:
: Laplace transform 的 z 是取負實數，不過 z=0 的邊界問題很討厭:p
Laplace transform不滿足條件1，inverse Laplace transform才滿足條件1。
至於能不能對Fourier transform簡單地取另一個積分路徑我感到懷疑。
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第01話 似乎在課堂上聽過的樣子 第02話 那真是太令人絕望了
第03話 已經沒什麼好期望了 第04話 被當、21都是存在的
第05話 怎麼可能會all pass 第06話 這考卷絕對有問題啊
第07話 你能面對真正的分數嗎 第08話 我，真是個笨蛋
第09話 這樣成績，教授絕不會讓我過的 第10話 再也不依靠考古題
第11話 最後留下的補考 第12話 我最愛的學分
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要是能證明出那個等式，我覺得沒什麼不好。首先要檢查跟乘上x交換的操作是不是只有
乘上一個函數XD然後就是該怎麼決定h。想必會給出一些L的連續性的條件吧？
real跟complex case我想也會不一樣？
※ 編輯: cmrafsts (160.39.29.32 美國), 10/26/2021 01:57:28
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