[分析] 實變捲積的存在性證明

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2021/10/21 03:32), 4年前編輯推噓4(4推 0噓 14→)
留言18則, 4人參與, 4年前最新討論串1/1
如題請教一下是否下面這件事情很trivial: ========================================== <Property> 若 p€[1,+∞], f€L^p(R^n), g€L^1(R^n) 則 f＊g(x) exists for almost every x€R^n (特別是p=+∞是處處存在) ========================================== 會這樣問是因為Zygmund在(6.14)有敘述到但是沒證明(p=1) 而在(9.1)更是直接把存在性當已知(p€[1,+∞]) 而之後去google時查到一份資料 https://sites.math.washington.edu/~hart/m526/Lecture2.pdf 他真的有證明, 順序脈絡如下: (1) p=1 捲積a.e.存在 (2) p=+∞ 捲積處處存在 (3) 1<p<+∞ 捲積a.e.存在 閱讀之後發現(1), (2)確實簡單, 但是(3)他用到了一個性質: 任何p>=1, L^p的函數都能拆成L^1與L^∞的兩個函數和 ---(●) 這個性質目前在Zygmund找不到, 然後自己有想到一個證明: 令f€L^p(R^n) 令g(x) = f(x)*χ_{|f>1|}, h(x) = f(x)*χ_{|f<=1|} 則g是L^1, h是L^∞ (h甚至是處處<=1) 但是這個證明<Property>的脈絡看起來也不trivial阿.... =========================================================== 總結一下想問的幾個問題: (1) <Property>是否有trivial的證法(不然Zygmund不太可能這樣帶過) (2) Zygmund (9.9) https://imgur.com/ByeNad9
這個定理的證明完全沒有到 K是L^∞, 我猜測這個條件是為了讓捲積處處存在, 不然f的連續點x如果 剛好捲積不存在就糗了, 所以我覺得Zygmund應該有考慮到這件事, 剛好呼應那份 pdf所述 (3) Stein的 https://imgur.com/uBK5Occ
21.-(c)的敘述, 竟然只要f, g是可測函數就能確保捲積a.e.存在...這是錯的吧!? 反例: f(x) = 1, x€rational -1, x€irraational g(x) = 1, x€R 則f, g都是可測函數, 但是f＊g(x)處處不存在 謝謝幫忙~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634758349.A.3A3.html
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10/21 10:31, 4年前 , 1F
你可以試試把h(x)=|f(y)g(x-y)| 寫成 |f(y)||g(x-y)
10/21 10:31, 1F
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10/21 10:31, 4年前 , 2F
|^(1/p)|g(x-y)|^(1/q)然後用Holder Inequality 估
10/21 10:31, 2F
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10/21 10:31, 4年前 , 3F
計，再用這個估計去估計h的Lp norm 你會發現是有限
10/21 10:31, 3F
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10/21 10:31, 4年前 , 4F
的， 所以h is well-defined a.e.
10/21 10:31, 4F
推
10/21 10:36, 4年前 , 5F
更正一下，h(x)是|f(y)g(x-y)|對y積分
10/21 10:36, 5F
l大你這邊的邏輯是不是: 若|F|的積分有限, 則F welldefined a.e. 這樣是錯的吧...函數要先a.e.有定義才能討論積分不是嗎, 這也是為什麼我覺得Zygmund 直接把卷積函數拿來積分覺得怪怪的, 因為要先確定卷積函數的存在性
推
10/21 22:52, 4年前 , 6F
卷積是某函數積分，若積分存在則卷積存在。所以要看
10/21 22:52, 6F
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10/21 22:52, 4年前 , 7F
積分是不是存在就直接掛絕對值估計這個積分，因為非
10/21 22:52, 7F
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10/21 22:52, 4年前 , 8F
負函數都可以算積分，所以掛絕對值後不用擔心存在性
10/21 22:52, 8F
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10/21 22:52, 4年前 , 9F
問題，只需要估計這個積分會不會是有限的。
10/21 22:52, 9F
完全同意, 也就是因為這樣才會有最後那個三個問題, Zygmund覺得trivial所以沒證 還是說真的有更trivial的方式去證明存在性...
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10/21 23:13, 4年前 , 10F
我覺得沒寫是因為真的很簡單, 有點分析經驗的應該懂
10/21 23:13, 10F
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10/21 23:13, 4年前 , 11F
可積性出問題，不是某處增長太快，就是遠處衰退太慢
10/21 23:13, 11F
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10/21 23:15, 4年前 , 12F
L^p之間包含的關係也可以用這二點來看
10/21 23:15, 12F
w大你說的這兩點確實就是我證明p>=1的L^p能分解成L^1+L^∞的思路 只是從以前唸Zygmund到現在, 存在性他都很care都會說, 只是證明簡單的話就會 留做exercise 但是對於捲積卻什麼都沒說, 我就在想到底是它有多麼trivial的看法 還是證明就是像我說的reference那樣證, 然後他認為這個證明太trivial了就當默認存在
推
10/21 23:44, 4年前 , 13F
這可能不trivial，但應該相當自然。
10/21 23:44, 13F
了解~ 經過版友和朋友的討論, 整理答案如下: (1) 存在性是確定的, 只是trivial (2) K是L^∞確實是為了捲積處處存在 (3) Stein那邊少加了L^1 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/21/2021 23:53:44
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10/22 00:04, 4年前 , 14F
有興趣也可以看看別本書，像是Folland的 Real Analy
10/22 00:04, 14F
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10/22 00:04, 4年前 , 15F
sis(應該蠻好查到的)的第8.2章有針對convolution 的
10/22 00:04, 15F
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10/22 00:04, 4年前 , 16F
介紹，Folland應該也證明的比較仔細一點可以參考看
10/22 00:04, 16F
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10/22 00:04, 4年前 , 17F
看。
10/22 00:04, 17F
推
10/22 04:27, 4年前 , 18F
(1)可以用Young's inequality說明/想像
10/22 04:27, 18F
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