[機統] 三道門機率問題

看板Math作者 (scitamehtam)時間2年前 (2021/10/15 18:01), 2年前編輯推噓9(9推 0噓 32→)
留言41則, 5人參與, 2年前最新討論串1/1
這題是經典問題 題目特別強調“主持人知道哪一扇門才有汽車” 而其他兩道門後面是羊 這樣的假設是否是多餘的？ 我的想法 如果參賽者選擇A門 主持人打開B門後，是一頭羊 在打開看到這B門是頭羊的條件下，是已發生的事實 根本不用管主持人是否知道？ 知道打開也是羊，就算不知道現在情況下打開也是羊了啊？ 而這題的解答 可否思考如下 參賽者只能選擇一道門，所以拿到車的機率是1/3 P(A)=P(B)=P(C)=1/3 沒選到車的另兩個門有車的機率是2/3，但個別機率是1/3 當主持人任意開啟一門假設是B門，發現是一頭羊 （令此事件為E） 則另一道門是車的機率就變成2/3 (ie. P(B)+P(C)=2/3) P(C|E) = 2/3, P(A|E) = 1/3, P(B|E) = 0 P(C|E) > P(A|E) 所以理當要換門？ 請問我的理解有錯誤嗎？ 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.44.16 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1634292092.A.11E.html
推
10/15 18:04, 2年前 , 1F
你主持人開到車怎麼辦……
10/15 18:04, 1F
given 打開B門是頭羊的情況下，主持人知不知道應該沒差吧？ 看到事件E的同時，已經確定B是一頭羊而不是車
推
10/15 18:06, 2年前 , 2F
10/15 18:06, 2F
我大概能接受換門獲獎率比較高的答案，但我提出的思考方式是否有錯誤呢 ※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 18:12:06
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10/15 18:30, 2年前 , 3F
一樓說了啊，要是主持人不知道開到車怎麼辦，畢竟
10/15 18:30, 3F
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10/15 18:30, 2年前 , 4F
正常情況下大家都要車
10/15 18:30, 4F
推
10/15 18:31, 2年前 , 5F
主持人不知道車在C門，他要怎麼知道該開B門？
10/15 18:31, 5F
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10/15 18:32, 2年前 , 6F
*車不在B門
10/15 18:32, 6F
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10/15 18:34, 2年前 , 7F
總之，你算的是條件機率。已知條件是主持人隨意看
10/15 18:34, 7F
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10/15 18:34, 2年前 , 8F
了B門，門後是羊。
10/15 18:34, 8F
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10/15 18:35, 2年前 , 9F
*開了
10/15 18:35, 9F
嗯嗯，我就是假設主持人任意開了一個門，而這個門剛好是頭羊
推
10/15 18:44, 2年前 , 10F
可是主持人也可能隨意開，開到的是汽車，那麼再笨
10/15 18:44, 10F
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10/15 18:44, 2年前 , 11F
的人都要選車，所以要排除這種狀況。畢竟題目是問
10/15 18:44, 11F
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10/15 18:44, 2年前 , 12F
來賓換不換門，要是知道那扇門後面車，那麼他一定
10/15 18:44, 12F
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10/15 18:44, 2年前 , 13F
會換，那麼這個情況討論起來就沒有任何意義
10/15 18:44, 13F
同意，那我後面計算機率的想法是否有正確呢？ 謝謝解答 ※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 19:05:51
推
10/15 19:18, 2年前 , 14F
P(B)+P(C)=2/3 推不出 P(B|E)+P(C|E)=2/3
10/15 19:18, 14F
推
10/15 19:45, 2年前 , 15F
嗯...這樣講試試? P(E) 在主持人不知道謎底時是 1/3
10/15 19:45, 15F
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10/15 19:46, 2年前 , 16F
在主持人知道謎底時是 1/2
10/15 19:46, 16F
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10/15 19:47, 2年前 , 17F
因為「主持人知道謎底」這件事讓某些狀況的機率變 0
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10/15 19:47, 2年前 , 18F
和這些被「刪掉」的事件成對的事件才會收到所有機率
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10/15 19:48, 2年前 , 19F
這在主持人不知道謎底時是不會發生的
10/15 19:48, 19F
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10/15 19:49, 2年前 , 20F
P(E) 在主持人知道謎底時是 1/2 也能這樣看:
10/15 19:49, 20F
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10/15 19:50, 2年前 , 21F
加入事件 F「主持人開 C 門看到羊」, 顯然機率同 E
10/15 19:50, 21F
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10/15 19:50, 2年前 , 22F
若主持人知道謎底, 則 E 和 F 就是全部了, 所以各半
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10/15 19:51, 2年前 , 23F
若主持人任意開, 則要算上開門看到車的 1/3 才是
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10/15 19:51, 2年前 , 24F
全部, 所以 E 和 F 只有各 1/3
10/15 19:51, 24F
汽車在Ｘ門後的事件 Ｘ＝A, B, C E主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一隻羊 F主持人開Ｂ門，且Ｂ門後是一台車 P(A) = P(B) = P(C) = 1/3 P(E) = 1/2 * 1/3 = 1/6 P(F) = 1/2 * 1/3 = 1/6 P(C|E) = P(C, E) / P(E) = 1 - P(A) = 2/3 (C 交集 E 等價 A') P(B|E) = P(B, E) / P(E) = 0 * 6 = 0 (B 交集 E = empty) P(A|E) = 1/3 我把它寫仔細一點 這樣呢？ 有沒有不對的地方 感謝分享 ※ 編輯: scitamehtam (101.12.44.16 臺灣), 10/15/2021 20:24:57
推
10/15 20:48, 2年前 , 25F
C 交集 E 不是 A', 是 A' 交集 (主持人開 B)
10/15 20:48, 25F
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10/15 20:49, 2年前 , 26F
把所有狀況寫開
10/15 20:49, 26F
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10/15 20:50, 2年前 , 27F
則「主持人開 B 門看到羊」是 U 聯集 Y
10/15 20:50, 27F
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10/15 20:51, 2年前 , 28F
C 交集 E 是 Y, 但 A' (排除 B) 則是 Y 聯集 Z
10/15 20:51, 28F
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10/15 20:51, 2年前 , 29F
就是這個 Z 的有無造成機率不同
10/15 20:51, 29F
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10/15 20:52, 2年前 , 30F
在主持人任意開的狀況時, Z 機率非零
10/15 20:52, 30F
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10/15 20:52, 2年前 , 31F
在主持人知道答案的狀況時, Z 的機率是 0
10/15 20:52, 31F
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10/15 20:53, 2年前 , 32F
因為這個不同加上 P(Y)+P(Z)=1/3 所以 P(Y) 不同
10/15 20:53, 32F
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10/15 20:53, 2年前 , 33F
跟著 P(E) = P(U)+P(Y) 也就不同了
10/15 20:53, 33F
推
10/15 20:57, 2年前 , 34F
(啊, 原本是有要在表裡寫機率所以寫了 1/2
10/15 20:57, 34F
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10/15 20:57, 2年前 , 35F
但這 1/2 只在任意開時能事先得知, 另一種狀況
10/15 20:57, 35F
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10/15 20:57, 2年前 , 36F
雖然恰好也是 1/2 但不是給定的)
10/15 20:57, 36F
推
10/16 18:24, 2年前 , 37F
你可以把參賽者拿掉 有三個們主持人自己點一個門
10/16 18:24, 37F
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10/16 18:25, 2年前 , 38F
不開 然後另外兩個門打開一個 發現是羊
10/16 18:25, 38F
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10/16 18:25, 2年前 , 39F
所以現在這兩門是1/3 2/3 這其中必有問題
10/16 18:25, 39F
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10/16 18:27, 2年前 , 40F
至於數學計算 至少每一個事件定義要明確 才能算
10/16 18:27, 40F
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10/16 18:28, 2年前 , 41F
條件機率的語言處理 比數學本身稍難
10/16 18:28, 41F
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