Re: [中學] 一題期望值問題
: 請問這題的期望值如果要用列式的話要怎麼計算呢？謝謝
松鼠總數量為n，其中m隻被標記。
那麼 Pr(捕獲c隻裡面有i隻標記) = C(m,i)C(n-m,c-i)/C(n,c) , i<= min(m,c)
0 , otherwise
所以期望值會是
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
i=0
然後要算出這個你需要一個結論：
For all m<=n and c<=n,
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) = C(n,c)
i=0
這個你可以從多項式 (1+x)^n 來看
(1+x)^n = (1+x)^m (1+x)^(n-m)
左邊多項式的 c次項係數為 C(n,m)
k = min(m,c)
右邊多項式的 c次項係數則是 Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) = C(n,m)
i=0
好了，讓我們回到原來問題
k = min(m,c)
Σ C(m,i) * C(n-m,c-i) / C(n,c) * i
i=0
k
= m/C(n,c) Σ C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
i=1
令 j = i-1,
k
m/C(n,c) Σ C(m-1,i-1) * C(n-m,c-i)
i=1
k-1
= m/C(n,c) Σ C(m-1, j) * C(n-m,c-1-j)
j=0
= m/C(n,c) * C(n-1, c-1) (因為 m-1 <= n-1, c-1<= n-1, k-1 = min(c-1,m-1),
所以可以引用上面那個結論)
= m/n *c
= p *c
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異端分子請不要再說了
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推
07/24 10:56, , 1F
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