Re: [代數] a^2+b^2=c^2且a^3+b^3+c^3=d^3的正整數解
※ 引述《someone (讀書說話行事做人)》之銘言：
: ※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: : 已知a^2+b^2=c^2
: : 且a^3+b^3+c^3=d^3
: : a,b,c,d都是正整數（a<b<c<d)，a,b互質
: : 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整數解?
: : 若有，是否有通式？
: : 若沒有，請證明沒有。
: 嘗試用畢氏三元數來做，有錯請指正。
: 不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2，
: m,n為一奇一偶，且m>n。
: a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)
: 而當n為偶數，m^2與m^4+4mn^3+3n^4同為奇數，無解。
: 當m為偶數，令m=2x，x與n仍互質。
: 2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3)
: 易知2x+n,8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3皆不為x的倍數，
: 故x必為1，即m必為2，而n=1時恰為解
: 除(3,4,5)無另外正整數解
稍微延伸一下
8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3) = 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2)
由 someone@ 的證明可知，當 x 沒有正整數立方根時無解
因為 gcd(x, n) = 1
gcd(x, n+2x) = 1
gcd(x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1
gcd(n+2x, 3n^2-4nx+4x^2) = 1 <== 這裡我第一次寫錯了
gcd(n+2x, 3n^2 - 4nx + 4x^2) = gcd(n+2x, 24x^2) = G
24x^2 = 2^3 * 3 * x^2
已知
gcd(A, B) = gcd(A1, B) * gcd(A2, B) 若 gcd(A1, A2) = 1, A1*A2=A
gcd(2, n+2x) == 1 (因為 n 是奇數)
若 3 | x ==> gcd(n, 3) == 1 ==> gcd(n + 2x, 24x^2) == 1
otherwise ==> gcd(n + 2x, 24x^2) = gcd(n + 2x, 3) = 3 or 1
若 8x^2(n+2x)^2(3n^2-4nx+4x^2) 有正整數立方根，則
x 有正整數立方根 (由 someone@ 的證明可知，當 x 沒有正整數立方根時無解)
且
若 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 有大於 1 的最大公因數，則最大公因數為 3
==> 3 | n + 2x 3 | 3n^2 - 4nx + 4x^2
==> n MOD 3 == x MOD 3
如果 n + 2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 互質，則
n + 2x 有正整數立方根
3n^2 - 4nx + 4x^2 有正整數立方根
都要成立
接下來的就不知道有沒有用了：
若 n+2x 和 3n^2 - 4nx + 4x^2 各有正整數立方根
==> x(n+2x) = xn + 2x^2 有正整數立方根 (令他為 p^3)
令 3n^2 - 4nx + 4x^2 為 q^3
則 gcd(p, q) = 1
==> 3n^2 - 5nx + 2x^2 = q^3 - p^3
(3n - x) (n - 2x) = (q-p)(q^2 + pq + p^2)
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05/10 15:12,
3年前
, 1F
05/10 15:12, 1F
補充幾個沒考慮到的狀況
※ 編輯: stimim (104.132.150.77 美國), 05/10/2021 15:41:05
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容：
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇)：