Re: [代數] a^2+b^2=c^2且a^3+b^3+c^3=d^3的正整數解
※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言：
: 已知a^2+b^2=c^2
: 且a^3+b^3+c^3=d^3
: a,b,c,d都是正整數（a<b<c<d)，a,b互質
: 求a,b,c是否有（3,4,5）以外正整數解?
: 若有，是否有通式？
: 若沒有，請證明沒有。
嘗試用畢氏三元數來做，有錯請指正。
不失一般性，令a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2，
m,n為一奇一偶，且m>n。
a^3+b^3+c^3=2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)
而當n為偶數，m^2與m^4+4mn^3+3n^4同為奇數，無解。
當m為偶數，令m=2x，x與n仍互質。
2m^2(m^4+4mn^3+3n^4)=8x^2(2x+n)(8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3)
易知2x+n,8x^3-4x^2n+2xn^2+3n^3皆不為x的倍數，
故x必為1，即m必為2，而n=1時恰為解
除(3,4,5)無另外正整數解
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※算術基本定理:所有大於1的正整數皆可唯一分解為質因數的乘積.
※代數基本定理:(複數係數)一元n次方程式至少有一個複數根.
※微積分基本定理:微分與積分互為逆運算-->Stoke定理
※曲線論基本定理:空間曲線由曲率與扭率唯一決定.
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