Re: [其他] 求極值
※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 若 y大於等於0 且 小於等於1 ,而t>0是個常數
: 而x大於等於0且小於等於 1/根號(1+t^2)
: 則在 x^2+y^2-xy+x^2*t^2=1 這個條件下
: 試求1-xy的極大值極小值
: 有考慮用到對x,y偏微分,或是拉格朗日乘數但似乎有點用不太出來
: 請大家指點迷津~~thx~~
0 <= y <= 1, 0 <= x<= 1/sqrt(1+t^2), t為>0之常數
1-xy的極大值明顯為1 (xy極小值為0)
問題在於求xy的極大值
xy = (t^2+1)x^2 + y^2 -1
>= 2*sqrt(t^2+1)*x*y - 1 by 算幾不等式
[2sqrt(t^2+1) - 1] xy <= 1
xy <= 1/[2sqrt(t^2+1) - 1] 接著檢視等號成立條件
此時 (t^2+1)x^2 = y^2 --> y = sqrt(t^2+1)*x
sqrt(t^2+1)*x^2 = 2(t^2+1)x^2 - 1
x^2 = 1/[2(t^2+1) - sqrt(t^2+1)]
由題目 0 <= x^2 <= 1/(1+t^2) 仍在範圍內
此時y^2 = (t^2+1)/[2(t^2+1) - sqrt(t^2+1)]
= 1/[2-1/sqrt(t^+1)] < 1 符合題目y之範圍
故 xy 極大值為 1/[2sqrt(t^2+1) - 1]
代入1-xy可得極小值
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※ 編輯: cheesesteak (106.1.249.63 臺灣), 04/19/2021 01:56:58
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