Re: [中學] 請教國中幾何四題
第四題，雖然有點超出國中範圍內了，還是給個解法...
應該還是有參考價值吧XD
1. 因為待證的長度都長在同一條直線上，
所以對整個三角形進行仿射變換（affine transform）不影響結果
所以，如果要用解析幾何證，可以任意設定三角形座標而不失一般性。
2. 設定最方便的坐標系：
令G(0,0)，A(-1,-1)，B(-1,2)，C(2,-1)。
這樣，經過一個等比例變換，假設D、E、F的x座標各為x1，x2，x3，
只需要證明x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0。
3. 我們知道直線AB、BC、CA的方程式分別為
x+1=0、x+y-1=0、y+1=0。
所以三次式(x+1)(y+1)(x+y-1)=0為包含三角形的三條直線之聯集。
因為D、E、F、G共線，假設直線方程式為y=mx。
4. 將y=mx帶入三次式，會得到一個x的三次方程式。
x1、x2、x3為該方程式的三根。
x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0等價於該方程式的一次項為0。
所以只需要檢查(x+1)(mx+1)((m+1)x-1)的一次項為0。
因為還真的是0，故得證。
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