Re: [其他] 無窮和極限的爭議已經徹底解決?
※ 引述《dharma (達)》之銘言:
: 下面摘錄講的
: 真的徹底解決了嗎?
: 因為有時看網路上的數學科普文
: 講的好像還有爭議沒定論
: thanks
: 《大數學家》p555
: 對於古老問題的絕對肯定和徹底解決往往需要解釋,人們才能消化接受得了。下面是羅素
: 在1901年以於康托爾在無窮問題上普羅米修斯般的貢獻所說的一番話:“芝諾討論了三個
: 問題。…即無窮小,無窮以及連續性。從那時起至今每一代最傑出的學者都輪番對這些問
: 題進行了探索,但概而言之是毫無所獲。…現在維爾斯特拉斯、戴德金以及康托爾已經將
: 它們徹底解決。他們的解決清楚明白,不再有絲毫的難點遺留。這也許是這個時代可以誇
: 耀的最偉大的成就。…無窮小問題由維爾斯特拉斯解決,其它兩個問題的解決由戴德金開
: 始,而爲康托爾圓滿完成。 "
關於無窮小:
羅素之所以認為圓滿解決了,是因為他抱持邏輯(實在)主義的觀點。
對邏輯主義者來說,無窮小根本不存在,只有 epsilon-delta 這種東西。
這種作法的確是可以為現代分析提供一個邏輯主義式的基礎,但並不表示
沒有其他可能性。例如用非標準分析(Non-standard analysis)就可以承認
無窮小的存在並用它來建構分析基礎(我沒仔細看過,只是聽說可以)。
如果你的數學哲學不太一樣,的確有可能會認為這個問題沒有得到很圓滿
的解決。但我想應該不至於否認這問題已經得到一種"合理"的解決。
至於無窮和連續性就比較麻煩一點,因為當代的理解與芝諾的提問可能有
點語意上的落差。從某個角度看,芝諾對於無窮的提問可以說是涉及收斂
性,因此應該算是解決了(在康托之前)。但你也可以說芝諾的悖論其實
是在問時空的連續性(世界是由基本原子組成,還是連續非離散的?),
這樣好像就不算有圓滿解決,我覺得這應該和康托的理論無關,或者康托
做了一些結果,只是我孤陋寡聞沒聽說過。因為羅素一定很清楚這些東西
,所以可能要再去看他到底說了什麼,只看《大數學家》這本書可能無法
搞懂。
如果你去看芝諾的第三個悖論,會發現他的第三個悖論講得不是很清楚。
更精確來說,芝諾的悖論是亞里斯多德記錄下來的,而亞里斯多德的重點
是用他的想法來反駁芝諾,他並沒有把芝諾的問題講得很好,所以這方面
也是有臆測的成分,我想沒人可以百分之百確定芝諾的意思。因此可能要
先搞清楚羅素是怎麼理解這個悖論,才知道康托是不是真的解決了。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.9.35.76 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1612449776.A.3C2.html
→
02/05 13:39,
3年前
, 1F
02/05 13:39, 1F
→
02/05 13:39,
3年前
, 2F
02/05 13:39, 2F
我發現 Kline 的 Mathematical thought from ancient to modern times
把芝諾的悖論寫得蠻清楚的,第三章第六節,Eleatic學派那段 。
我提到的不清楚的第三個悖論是書上說的第四個悖論。
(我先前把其中兩個悖論記成同一個,所以以為只有三個。我是直
接看亞里斯多德的物理學。)
至於邏輯主義的部分,可以看 Kline 的另一本書《數學:確定性的失落》。
→
02/05 16:33,
3年前
, 3F
02/05 16:33, 3F
※ 編輯: Babbage (140.117.35.197 臺灣), 02/05/2021 17:21:08
推
02/05 18:12,
3年前
, 4F
02/05 18:12, 4F
→
02/05 18:13,
3年前
, 5F
02/05 18:13, 5F
→
02/05 18:13,
3年前
, 6F
02/05 18:13, 6F
推
02/05 20:18,
3年前
, 7F
02/05 20:18, 7F
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容:
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇):