Re: [中學] 請教中學數學一題

看板Math作者algebraic (algebraic)時間5年前 (2020/10/28 15:17)推噓4(4推 0噓 1→)

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※ 引述《hahaha2009 (hahaha)》之銘言： : 請問各位大大.. : 已知a,b是正整數 : a^2+b^2除以a+b，商q餘r，並且q^2+r=1831，求(a,b)有幾組? : 謝謝個人拙見令 a+b = k，則 a^2+b^2 = 2(a-k/2)^2+k^2/2 故 k^2/2 <= a^2+b^2 <= k^2 而因為 0 <= r < a+b = k 所以 kq <= a^2+b^2 = kq+r < k(q+1) 因此 kq <= k^2 且 k^2/2 < k(q+1) 整理得 q <= k < 2(q+1) 另一方面，因為 q,r 皆為非負整數所以從 q^2+r = 1831 中可知 q 屬於 {0, 1, ..., 42} (註：41^2=1681, 42^2=1764, 43^2=1849) 故 r < k < 2(q+1) <= 86 且得 q^2 = 1831-r > 1831-86 = 1755 由此可知 q = 42, r = 67，且原式為 a^2+b^2 = (a+b)*42+67 現在考慮 a+b = k 的所有可能性我們知道 67 = r < k 且 k < 2(q+1) <= 86 故 67 < k < 86 而從 a^2+b^2 = (a+b)*42+67 中考慮 mod 2 可得 a+b 為奇數考慮 mod 3 可得 a+b 不為3的倍數考慮 mod 5 可得 a+b = 0 或 4 mod 5 在 68~85 之間的整數中只有 79 和 85 符合以上三個條件考慮 a+b = 79 可得 a^2+b^2 = 79*42+67 = 3385 且此可解出 (a,b) = (51,28) 或 (28,51) 考慮 a+b = 85 可得 a^2+b^2 = 85*42+67 = 3637 且此可解出 (a,b) = (46,39) 或 (39,46) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.193.193 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1603869434.A.412.html

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TimcApple

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Panthalassa

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LPH66

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