[其他] 一個邏輯問題

看板Math作者 (真空管)時間5年前 (2020/10/13 16:18), 編輯推噓5(5推 0噓 29→)
留言34則, 5人參與, 5年前最新討論串1/1
有個邏輯問題我一直想不通... 如果 P=>Q 是真 那我們都知道P'=>Q'(否定)必為假, 然後Q=>P(逆)也為假 然後否逆命題Q'=>P'就會恆真, 因為雙重否定 但這件事是不是必須先確定Q=>P一定是假才行阿? 也就是說 我們必須先確定只有P=>Q, 而不是P<=>Q 不然如果P<=>Q的話上述的否定命題跟逆命題就也必為真了 而且這邊也產生了一件很奇怪的事 如果P<=>Q的話, 經過一次否定或一次逆竟然真值不變? 然後再進一步來說 以往我們常用的反證法是不是就用的太魯莽了呢? 試證P=>Q為真 然後我們毫不猶豫的就從P'=>Q'為假這個角度去證 那如果事實上P<=>Q呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.23.118 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1602577115.A.B22.html
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10/13 17:15, 5年前 , 1F
P->Q為真, 則Q'->P'也為真, 與P'->Q'的真假無關吧
10/13 17:15, 1F
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10/13 17:24, 5年前 , 2F
應該說這2件事是邏輯等價的
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10/13 17:28, 5年前 , 3F
利用邏輯上的 P=>Q ≡ ~P V Q 這件事可以簡單驗證
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推
10/13 17:28, 5年前 , 4F
你第三行那兩個敘述都不必為假啊。
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10/13 17:30, 5年前 , 5F
而 P <==>Q ≡ ( P=>Q ^ Q =>P) ，看真值表就跟上
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10/13 17:30, 5年前 , 6F
就不一樣了
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推
10/13 17:33, 5年前 , 7F
反證法是 Q'→P'。
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10/14 12:03, 5年前 , 8F
原PO最大的誤解在於認為P→Q的否定敘述Q'→P'
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10/14 12:03, 5年前 , 9F
(By completeness theorem)我們算一下(P→Q)'和
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10/14 12:03, 5年前 , 10F
Q'→P'的真值表就可以發現他們不等價了
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10/14 12:05, 5年前 , 11F
另外不是很重要的一點 為了證P→Q而去證Q'→P'並不
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10/14 12:05, 5年前 , 12F
是反證法 而是proof by contraposition 反證法是指
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10/14 12:06, 5年前 , 13F
"由P推得R和非R 故非P"
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推
10/14 13:45, 5年前 , 14F
咦，這是歸謬吧？實做通常是從Q'推得R和R'這樣？
10/14 13:45, 14F
推
10/14 14:40, 5年前 , 15F
應該說是 (PΛQ')→(RΛR') 故 ~(PΛQ') 即 P→Q
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10/14 14:41, 5年前 , 16F
Q'→P' 可以是上式的一種狀況
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10/14 15:09, 5年前 , 17F
"P→Q和Q'→P'等價"不是反證法的特例 只是在某些邏
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10/14 15:09, 5年前 , 18F
輯體系下 我們可能可以用反證法證明他們等價
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10/14 15:10, 5年前 , 19F
反證法(Proof by contradiction)是歸謬法(reductio
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10/14 15:11, 5年前 , 20F
ad absurdum)的在數學中的形式 歸謬法是一種論證方
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10/14 15:11, 5年前 , 21F
式 但不限於數學中
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10/14 15:11, 5年前 , 22F
反證法的依據 在古典邏輯中是依賴於無矛盾律和排中
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10/14 15:12, 5年前 , 23F
律 (跟爆炸原理也有關係) 在形式邏輯中 則是 P 和
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10/14 15:12, 5年前 , 24F
P'→⊥等價 或者在實作中 P→Q 和(P and Q')→⊥是
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10/14 15:12, 5年前 , 25F
等價的
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10/14 15:13, 5年前 , 26F
Proof by contraposition的依據 不管是在古典或形式
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10/14 15:13, 5年前 , 27F
邏輯中 都是the law of contraposition (任何的
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10/14 15:13, 5年前 , 28F
conditional statement都和他的contrapostion等價
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10/14 15:15, 5年前 , 29F
即P→Q 和 Q'→P'是等價的)
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10/14 15:19, 5年前 , 30F
不應該因P→Q, (P and Q')→⊥和Q'→P'在某些邏輯體
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10/14 15:20, 5年前 , 31F
系下是等價的 就誤以為這三者是同一件事 至少在字串
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10/14 15:20, 5年前 , 32F
上就已經不是同一回事了
10/14 15:20, 32F
推
10/14 16:11, 5年前 , 33F
所以數學中歸謬和反證是同一件事囉？以前從沒分清楚
10/14 16:11, 33F
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10/14 16:21, 5年前 , 34F
過:p 畢竟太少去區分邏輯之間的異同了。
10/14 16:21, 34F
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