[機統] X～常態分配;Y=X的r次方,求Y的pdf

看板Math作者 (Ethan)時間3年前 (2020/09/08 01:37), 編輯推噓0(0推 0噓 31→)
留言31則, 1人參與, 3年前最新討論串1/2 (看更多)
Derive the distribution (pdf) of the r-th power y of a normally distributed random variable x, that is, y=x^r, x ~ N(μ, σ2). Assume r > 0. What happens if r = 0 or r < 0? What is E(1/x) if x is normal? Then find the mean of x^r using the approximation by the delta method. What is required for the delta method approximation to be valid? 我假設r-th power的r是整數,下面的圖片是我假設r是偶數的情況, 但不知道奇數的話要怎麼處理 題目也還有問=0或小於0的情況會怎麼樣 第二張圖是算E(X^r)不知道題目問的delta method有什麼條件,謝謝！ https://imgur.com/rPsibTY
https://imgur.com/wXQbeWc
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09/08 09:06, 3年前 , 1F
我覺得對於一般r而言 不太能定義並討論X^r 所以也只
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09/08 09:08, 3年前 , 2F
考慮r是整數 希望版上能人能補充
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09/08 09:11, 3年前 , 3F
當r是正奇數時 f(t)=t^r是increasing and bijective
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09/08 09:14, 3年前 , 4F
所以 P(X^r<=y) = P(X<=y^{1/r}) 接著沿原po的作法
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09/08 09:16, 3年前 , 5F
繼續做就好了 當r=0時 X^0=1 所以CDF是H(x-1) 而pdf
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09/08 09:18, 3年前 , 6F
是δ(x-1) 其中H是heaviside step function δ是
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09/08 09:18, 3年前 , 7F
Dirac delta function
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09/08 09:21, 3年前 , 8F
同樣可以分析 當r為負奇數時 有
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09/08 09:23, 3年前 , 9F
(當y>=0時) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{-1/r})
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09/08 09:25, 3年前 , 10F
(當y<=0時) P(X^r<=y) = P(y^{-1/r}<=X<=0)
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09/08 09:27, 3年前 , 11F
而r為負偶數時 有
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09/08 09:32, 3年前 , 12F
(當y>=0時) P(|X|>=y^{1/r}) = P(X>=y^{1/r}) +
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09/08 09:33, 3年前 , 13F
P(X<=-y^{1/r}) (當y<=0時)P(X^r<=y)=0
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09/08 09:36, 3年前 , 14F
上面r是負奇數時 弄錯r的正負 更正如下
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09/08 09:37, 3年前 , 15F
(當y>=0時) P(X^r<=y) = P(X<=0) + P(X>=y^{1/r})
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09/08 09:37, 3年前 , 16F
(當y<=0時) P(X^r<=y) = P(y^{1/r}<=X<=0)
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09/08 09:39, 3年前 , 17F
看不太懂你證E(1/x)發散的理由 不過積分中exp的部份
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09/08 09:42, 3年前 , 18F
在x=0附近大約是常數 所以原積分不是L^1可積
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09/08 09:46, 3年前 , 19F
然後作逼近的部份 看不太懂Taylor展開和delta
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09/08 09:48, 3年前 , 20F
method之間的關係(雖然好像常放在一起講?)
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09/08 09:51, 3年前 , 21F
但是在考慮binomial expansion of (1+t)^n時是有收
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09/08 09:56, 3年前 , 22F
歛半徑1的 所以X^r=(μ+(X-μ))^r~g(μ) +
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09/08 09:57, 3年前 , 23F
(X-μ)g'(μ)+(X-μ)g"(μ)/2是至少要求|X|<|μ|的
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09/08 10:02, 3年前 , 24F
打錯是要求|X-μ| < |μ| 所以如果要用積分彌補這個
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09/08 10:04, 3年前 , 25F
問題的話 P(|X-μ|>=|μ|)要很小才行 或換句話說
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09/08 10:06, 3年前 , 26F
σ/μ要很小才行 不過目前我想不出來用數學的方式來
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09/08 10:06, 3年前 , 27F
介定應該多小 望版上能人可以指點
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09/08 13:12, 3年前 , 28F
可能直接找一個funciton ε(*,*) [甚至一個ρ(*,*)]
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09/08 13:14, 3年前 , 29F
滿足 [ρ(σ/μ,r) <=] |E(X^r-g(μ)-
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09/08 13:15, 3年前 , 30F
(X-μ)g"(μ)/2)|<=ε(σ/μ,r) 可以直接表達用泰勒
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09/08 13:17, 3年前 , 31F
展開式作逼近的侷限性 我再想想看
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