[中學] 一題無限根號求值

看板Math作者 (金鋒)時間5年前 (2020/05/23 00:01), 編輯推噓11(11推 0噓 24→)
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今天無聊搜尋看到一題如下 https://upload.cc/i1/2020/05/22/34UAe8.png
試著解法如下 https://upload.cc/i1/2020/05/22/g0tBh6.jpg
因為假設整數下去算（包含4倍數），發現後面全部合理，不矛盾 但這題我設的f(x)可以不是整數嗎？如果不是整數怎辦？ 不知道有沒有更美完善的解法？ -- posted from bbs reader hybrid on my HTC_2Q4D100 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.9.236.111 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1590163311.A.3BA.html
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05/23 04:12, 5年前 , 1F
沒初始值 無法決定吧 但你都猜到答案了
05/23 04:12, 1F
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05/23 04:14, 5年前 , 2F
可以用 n = Sqrt{ (n+2)^2 - 4(n+1) } 一直下去
05/23 04:14, 2F
推
05/23 05:21, 5年前 , 3F
05/23 05:21, 3F
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05/23 08:01, 5年前 , 4F
感謝提供，c大給的關係式有在原題下看到
05/23 08:01, 4F
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05/23 08:02, 5年前 , 5F
看觀察不出為何從此關係式出發，雖然解法很美
05/23 08:02, 5F
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05/23 08:05, 5年前 , 6F
L大提供的影片不就得從答案推出題目？
05/23 08:05, 6F
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05/23 08:06, 5年前 , 7F
沒想到跟拉瑪努金有關...傳奇人物
05/23 08:06, 7F
推
05/23 08:52, 5年前 , 8F
05/23 08:52, 8F
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05/23 08:54, 5年前 , 9F
這裡有範例講解，把原式化為a=sqrt((a+2)^2-4(a+1))
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05/23 08:55, 5年前 , 10F
a+1再代入a+1=sqrt((a+3)^2-4(a+2))
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05/23 08:56, 5年前 , 11F
a+2=sqrt((a+4)^2-4(a+3))一直代下去。這個是不動點
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05/23 08:56, 5年前 , 12F
解方程式的一種推廣
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05/23 08:57, 5年前 , 13F
這可以作出任意n次根號、連分數的形式，有些可以估
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05/23 08:58, 5年前 , 14F
計方程的解。對數，log也可以套用。
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05/23 09:00, 5年前 , 15F
讚歎天才無限家。謝c大，這關係式不容易想到。
05/23 09:00, 15F
推
05/23 09:00, 5年前 , 16F
你答案對a=3代入sqrt((a+2)^2-4(a+1))並一直重複
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05/23 09:01, 5年前 , 17F
其實還是遞迴數列，如cuttle大所言。
05/23 09:01, 17F
推
05/23 09:11, 5年前 , 18F
我也是看那個網站才看懂，以前我自解有作過不動點的
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05/23 09:12, 5年前 , 19F
的計算，是類似的但拉馬努金還是有點差別，不過現在
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05/23 09:12, 5年前 , 20F
看就知道大同小異。就是把等式一直往前套，就會得
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05/23 09:13, 5年前 , 21F
到連環。等式樣子不同，連環式就會是n次根號、連分
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05/23 09:13, 5年前 , 22F
數，連指數等等
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05/23 09:14, 5年前 , 23F
理論上連sin cos sinh cosh也是可以的
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推
05/23 09:24, 5年前 , 24F
比如說cos[2x]=2cos^2[x]-1 cos[x]=2cos^2[x/2]-1
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05/23 09:24, 5年前 , 25F
也可以一直代下去
05/23 09:24, 25F
推
05/23 15:01, 5年前 , 26F
其實出來會是有理數，但是可以表示成循環小數，牛頓
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05/23 15:01, 5年前 , 27F
雜誌有介紹過
05/23 15:01, 27F
推
05/23 16:21, 5年前 , 28F
後面根號裡面，只可能是0，1，4
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推
05/23 16:24, 5年前 , 29F
每個根號出來一定是正整數，不然算式會中斷
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05/23 16:25, 5年前 , 30F
上面說錯，根號裡面只有0，1
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05/23 16:26, 5年前 , 31F
0，4
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推
05/23 16:29, 5年前 , 32F
要合乎所有根號裡的判斷式，只有0可以，因為根號裡
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05/23 16:29, 5年前 , 33F
無限個正整數平方，最後一個根號裡面一定是0
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推
05/23 16:30, 5年前 , 34F
結果答案是1
05/23 16:30, 34F
推
05/23 16:48, 5年前 , 35F
跟e很像，通常第三項就會趨近答案
05/23 16:48, 35F
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