Re: [中學] 請問加法性質證明

看板Math作者yhliu (老怪物)時間4年前 (2020/03/27 07:40)推噓0(0推 0噓 6→)

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※ 引述《jack41402 (抹茶好喝)》之銘言： : 如題 : 網路上很少交換律與結合律的證明 : 想請問大家如何證明兩者？ : 主要是為了證明 1+ 1 = 2定義的加法符合加法性質如果是指本版第一篇的加法... 以下用 * 代替上標的 + 代表後繼元: m+0 = m m+n* = (m+n)* 首先證明 n+1 = n* ( = 1+n (已證)) (1) 0 + 1 = 0 + 0* = (0+0)* = 0* (2) 假設 k+1 = k*, 則 k*+1 = k*+0* = (k*+0)* = (k*)* 由 (1), (2) 得證: for all n in ω, n+1=n*=1+n. 其次證明 (m+1)+n = m+(n+1) 或等於證明 m* + n = m + n*. (1) n = 0 時, m* + n = m* + 0 = m* = m+1 = m+0* = m+n*. (2) 假設 n=k 時成立. 則 n=k* 時 m* + n = m* + k* = (m* + k)* = (m + k*)* = m + (k*)* = m + n* 故: for all m, n in ω, m*+n = m+n*. 現在證明交換律 m + n = n + m (1) n = 0 時.. (a) m = 0 則 m+n = 0+0 = n+m. (b) 設 m = k 時 0+m = m = m+0. 則 m = k* 時, 0+m = 0+k* = (0+k)* = k* = m = m+0. 故: for all m in ω, 0+m = m = m+0. (2) 假設 n=k 時, m+n = n+m for all m. 則, n = k* 時, m + n = m + k* = (m + k)* = (k + m)* = k + m* = k* + m = n + m 由 (1), (2) 得證在 ω 中, 加法交換律成立. 證明結合律: (m+n)+k = m + (n+k) (1) n = 0 時, (m+0)+k = m+k = m+(0+k). (2) 假設 n=p 時成立. 當 n = p* 時: (m + p*) + k = (m + p)* + k = (m + p) + k* = m + (p + k*) = m + (p* + k) 所以, for all m,n,k in ω, 加法結合律成立. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.62.195 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1585266029.A.6DD.html

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