[分析] 實變 Sfg = (Sf)(Sg)

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2020/02/07 00:38), 4年前編輯推噓3(3推 0噓 40→)
留言43則, 5人參與, 4年前最新討論串1/2 (看更多)
想請問一下怎麼證明下面這件事: Let (E, Σ, μ) be a measure space, μ(E) < +∞ f, g: E → Ｒ∪{+-∞} be two measurable functions F(x):= μ({f <= x}) , F: Ｒ→Ｒ G(x):= μ({g <= x}) , G: Ｒ→Ｒ J(x,y):= μ({f <= x}∩{g <= y}), J: Ｒ╳Ｒ→Ｒ if (1) f, g, f*g are L^1(E) (2) for any x, y in Ｒ, J(x,y) = F(x)G(y) then ∫f*g dμ = (∫f dμ)(∫g dμ) (*是相乘不是捲積) ------------------------------------------------------ 簡單說我想要證明兩個隨機變數X,Y如果independent則uncorrelated(等價於期望值可拆) 但是查很多reference要馬假設有density function(額外假設F, G是絕對連續, 且J可微) 要馬就是考慮離散型 完全找不到直接用定義證明的case... 而wiki有一個拆解感覺有機會(雖然他寫成density function形式, 但我把它換回來F) ( https://en.wikipedia.org/wiki/Product_distribution ) 但是我卡在 μ({g <= x/f, f>=0}) 這種形式不知道怎麼拆 就沒辦法寫下去了 所以直接寫成measure space的題問來發問 謝謝!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.235.174 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1581007130.A.05D.html ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.235.174 臺灣), 02/07/2020 00:50:40
推
02/07 04:04, 4年前 , 1F
我覺得你符號用得有點亂，以致有些東西寫錯了。
02/07 04:04, 1F
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02/07 04:04, 4年前 , 2F
但你要的東西，概念上應該就是 Fubini's Thm. 吧？
02/07 04:04, 2F
V大亂是指下面解釋的地方嗎? 我一開始陳述的那些符號有哪些地方不清楚阿?? 用到Fubini的方式就是我下面說的一些證明都假設F, G是絕對連續所以有微分存在, 但是 今天F, G不一定是絕對連續, 所以才問有沒有直證的方式
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02/07 12:54, 4年前 , 3F
young inequality for convolution
02/07 12:54, 3F
請問是用在哪一步呢 ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 14:51:19
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02/07 14:53, 4年前 , 4F
這結果的證明大概是循下列步驟:
02/07 14:53, 4F
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02/07 14:55, 4年前 , 5F
(1) 首先考慮 f,g 是 indicator 的情形,
02/07 14:55, 5F
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02/07 14:56, 4年前 , 6F
(2) 其次考慮 simple functions;\
02/07 14:56, 6F
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02/07 14:57, 4年前 , 7F
(3) 接著考慮 nonnegative functions;
02/07 14:57, 7F
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02/07 14:58, 4年前 , 8F
(4) 然後是 integrable functions.
02/07 14:58, 8F
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02/07 14:59, 4年前 , 9F
(5) 最後可以考慮一般的 f, g.
02/07 14:59, 9F
y大我有看到simple function的證明方式, 但是一般f, g證不過去 原因如下: 我的條件(2)在統計中叫作f,g這兩個隨機變數independent 而今天如果f, g是simple function, 那麼確實很好證明當f, g是independent時定理成立 所以要能對general f, g用以上結果的話, 就必須找到兩串simple functions f_n到f, g _n到g, 並且f_n與g_n是independent for all n 所以問題就是在如何讓這兩串simple functions在每個n都independent嗎 ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:05:04
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02/07 15:01, 4年前 , 10F
文中 f*g 應係指相乘, 而非 convolution.
02/07 15:01, 10F
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02/07 15:03, 4年前 , 11F
Fubini's Thm. 似乎是用在 product measure 而非此
02/07 15:03, 11F
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02/07 15:03, 4年前 , 12F
問題?
02/07 15:03, 12F
相乘沒錯 還是V大就是說那邊很怪 我改一下 ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:06:27
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02/07 15:13, 4年前 , 13F
如果 simple functions 部分已證得,
02/07 15:13, 13F
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02/07 15:15, 4年前 , 14F
假設 f, g 非負. 取 simple functions 序列 f_n,g_m
02/07 15:15, 14F
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02/07 15:16, 4年前 , 15F
f_n↑f, g_m↑g ==> f_n g_m ↑ fg.
02/07 15:16, 15F
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02/07 15:17, 4年前 , 16F
記得有一個定理: f_n↑f ==> ∫f_n ↑ ∫f
02/07 15:17, 16F
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02/07 15:18, 4年前 , 17F
這就證得 f, g 非負情形.
02/07 15:18, 17F
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02/07 15:20, 4年前 , 18F
至於 f, g 可積也容易. f=(f+)-(f-), g=(g+)-(g-)
02/07 15:20, 18F
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02/07 15:21, 4年前 , 19F
一般情形則需小心分析, 避免 ∞-∞ 之類情況.
02/07 15:21, 19F
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02/07 15:24, 4年前 , 20F
μ{f≦x,g≦y}=μ{f≦x}μ{g≦y} for all x, y, 則
02/07 15:24, 20F
欸對阿 y大你這個方式就是我想要的方式.這個操作需要f_n與g_n是independent不是嗎? ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 15:26:34
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02/07 15:26, 4年前 , 21F
μ{a<f≦b,c<g≦d} = μ{a<f≦b}μ{c<g≦d} 易證.
02/07 15:26, 21F
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02/07 15:28, 4年前 , 22F
f_n = Σ{k=1 to n2^n} (k-1)/n I_{(k-1)/n<f≦k/n}
02/07 15:28, 22F
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02/07 15:29, 4年前 , 23F
f_n↑f, g_m↑g, 則 f_n g_m ↑ f g.
02/07 15:29, 23F
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02/07 15:31, 4年前 , 24F
上面我是用 f_n, g_m, 事實上用 f_n, g_n 無妨.
02/07 15:31, 24F
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02/07 15:33, 4年前 , 25F
所以 ∫fg = lim∫f_ng_n = lim∫f_n∫g_n
02/07 15:33, 25F
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02/07 15:34, 4年前 , 26F
= lim∫f_n lim∫g_n = ∫f ∫g
02/07 15:34, 26F
推
02/07 16:08, 4年前 , 27F
想請教一下z大,不知道我這樣想對不對
02/07 16:08, 27F
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02/07 16:10, 4年前 , 28F
如果想成Lebesgue measure,式子就變成這樣：
02/07 16:10, 28F
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02/07 16:10, 4年前 , 29F
∫∫f(x)g(y)dx dy = (∫f(x)dx)(∫g(y)dy)
02/07 16:10, 29F
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02/07 16:11, 4年前 , 30F
這樣子的話看V大說Fubini定理似乎就可以理解
02/07 16:11, 30F
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02/07 16:35, 4年前 , 31F
我好像搞錯,等號左邊應該是∫f(x)g(x)dx,不太一樣
02/07 16:35, 31F
嗨P大 我試著搬進去沒有發生什麼事XDDD
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02/07 16:51, 4年前 , 32F
不是, 是 ∫f(ω)g(ω) dμ.
02/07 16:51, 32F
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02/07 16:53, 4年前 , 33F
f, g 的值在延伸實數集上, 定義域則不是.
02/07 16:53, 33F
y大我上面有回你了 所以檢查你造出來的f_n, g_n會有independet的性質囉? ※ 編輯: znmkhxrw (114.137.152.209 臺灣), 02/07/2020 16:55:45
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02/07 17:18, 4年前 , 34F
感謝y大,你說的對.前面我自動想成E在實數裡
02/07 17:18, 34F
推
02/07 18:30, 4年前 , 35F
https://reurl.cc/e5ezjb 我一開始想到的是FUBBINI
02/07 18:30, 35F
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02/07 18:31, 4年前 , 36F
根VULPIX大一樣。用獨立把dp(xy)拆成dp(x)dp(y)
02/07 18:31, 36F
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02/07 18:32, 4年前 , 37F
E(XY)=LEBESGUE XY dP(XY)=E(X)E(Y)
02/07 18:32, 37F
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02/07 18:33, 4年前 , 38F
這邊只會討論MESURABLE函數，大定理大該是用的YH大
02/07 18:33, 38F
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02/07 18:36, 4年前 , 39F
的流程。
02/07 18:36, 39F
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02/07 18:37, 4年前 , 40F
這邊的定理是用範圍，機率論基乎都要可測，不會討論
02/07 18:37, 40F
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02/07 18:38, 4年前 , 41F
到不可測的函數，雖然它們數目比可測多很多
02/07 18:38, 41F
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02/07 18:39, 4年前 , 42F
不可測函數不會符合機率公設，個人淺見
02/07 18:39, 42F
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02/07 19:09, 4年前 , 43F
不可測根本無法討論相關的測度, 更甭談積分.
02/07 19:09, 43F
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