Re: [機統] 不重複取球的機率

看板Math作者LPH66 (信じる力奇跡起こすこと)時間6年前 (2019/11/04 16:41)推噓5(5推 0噓 3→)

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寫一下我的做法好了 ※ 引述《xxxx9659 (嘎嘎嘎嘎嘎)》之銘言： : 最近在算一個機率問題 : 有 n 顆球編號 1 ~ n : 每次取一顆球取後放回 : 求取了 k 次結果沒有任何一顆球的編號重複的機率 : 我覺得算式是這樣 : C(n,k) / k! : ------------- : n^k : 或是這樣寫 : P(n,k) : ---------- : n^k : 如果令 k = n^0.5 而且 n 超級大的情況下 : 我用 excel 算出來大約是 0.60649... : 我想問的是這個值最後會不會收斂成一個定值阿？ : 感覺是跟自然常數 e 有關但是又說不出什麼有關係... : 希望各位大大幫我解答或是給我一些方向 : 感謝先寫一個不很嚴謹的做法這機率可以寫成 P = (n/n)*[(n-1)/n]*[(n-2)/n]*...*[(n-k+1)/n] 取對數得 ln P = ln(n/n) + ln[(n-1)/n] + ln[(n-2)/n] + ... + ln[(n-k+1)/n] 嘗試把右邊看成 ln x 由 x=(n-k)/n 到 1 的積分的黎曼和, 會發現需要補一個 1/n 1 補上去之後把右邊近似(!)成 n * ∫ ln x dx 1-1/√n 容易發現在 n→∞ 時這是 ∞*0 的不定型, 所以把 n 搬到分母後羅必達一次 -ln(1-1/√n) * (-1)(-1/2)(n^(-3/2)) 會得到 ------------------------------------- = ln(1-1/√n) * (1/2)√n -n^(-2) 又是 0*∞, 所以一樣把 √n 搬到分母再羅必達一次 (1/2)/(1-1/√n) * (-1)(-1/2)(n^(-3/2)) 就得到 ---------------------------------------- = -(1/2)/(1-1/√n) → -1/2 (-1/2)(n^(-3/2)) 所以 P → e^(-1/2) ≒ 0.606531 上面這個做法不嚴謹的地方在 (!) 那裡, 因為那裡把式子的一部份先取了極限不過嚴謹的做法應該只需要稍微調整: 在 (!) 那裡把和式夾在兩個積分中間, 一個是上式 (原式是上式積分的黎曼上和) 另一個則是拿掉 ln(n/n) = ln 1 = 0 之後變成另一個積分的黎曼下和這兩個積分只差在下限不一樣, 後一個積分下限是 (n-k+1)/n 所以求極限過程 (雖然稍微繁了些但) 大同小異, 最後一步的極限下去都逼近 -1/2 這樣就能嚴謹地夾出 ln P 的極限是 -1/2 了 -- 1985/01/12 三嶋鳴海 1989/02/22 優希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町つぐみ歡迎來到 1994/05/21 高江ミュウ 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬チサト 1998/06/18 守野くるみ打越鋼太郎的 1999/10/19 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遙 2002/12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱倉岳墜機 ∞與∫的世界 2011/04/02 茜崎空啟動 2012/05/21 第貮日蝕計畫預定 2017/05/01~07 LeMU崩壞 2019/04/01~07 某大學合宿 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.177.3.123 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1572856897.A.2F7.html ※ 編輯: LPH66 (180.177.3.123 臺灣), 11/04/2019 16:43:56 ※ 編輯: LPH66 (180.177.3.123 臺灣), 11/04/2019 16:46:46

推

xxxx9659

11/04 18:07, 6年前 , 1^F

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推

xxxx9659

11/04 18:27, 6年前 , 2^F

11/04 18:27, 2^F

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wohtp

11/04 20:21, 6年前 , 3^F

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