Re: [微積] 一題線積分請教

看板Math作者alan23273850 (God of Computer Science)時間5年前 (2019/05/15 17:06)推噓2(2推 0噓 6→)

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※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言： : https://i.imgur.com/GCwDgXS.jpg

: 我想問的是第b題，一開始因為知道他在(0,0)以外的那一點是保守場，所以我先找出他 : 的勢函數為arctan(y/x)+c，再代入線積分基本定理，將上下限端點帶進勢函數後，上限 : 的結果減去下限的結果，最後得到的結果都是0。 : 但是如果轉成參數式然後再積的話，得到的結果卻是π，算了很久都不知道問題在哪裡 : ，還請各位不吝指教，謝謝。 : 這學期當改作業 TA，回文幫助我自己複習，順便賺個批幣。要從 ∂P/∂y = ∂Q/∂x 推得保守場，該場域必須是 simply-connected 才能保證，而不是單純直接把 (0,0) 那個點挖掉，即使找到勢函數，該函數也有自己的適用範圍，所以還是不能說該場域就是保守場。你會發現上半圓跟下半圓的線積分值不同，這就是一個 "非保守場" 的證明。但是這題怪的點就在於為什麼找到勢函數 arccot(x/y) 還是可以算出上下兩半圓積分，因為 arccot(x/y) 只在 y=0 不連續，所以上半邊和下半邊又能形成各自的小保守場，所以上半圓積分 = arccot(-1/0+) - arccot(1/0+) = pi - 0 = pi，而下半圓積分 = arccot(-1/0-) - arccot(1/0-) = 0 - pi = -pi。簡單來說，上半平面、下半平面各自為保守場，但合起來就不是，所以兩者積分值不同。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.175.74 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1557911165.A.A42.html

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Vulpix

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alan23273850

05/15 17:20, 5年前 , 3^F

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