Re: [其他] 對某段時間平均之變數的常微方

看板Math作者saltlake (SaltLake)時間6年前 (2019/04/28 07:27)推噓0(0推 0噓 8→)

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花了一段時間釐清自己原本所想如下: 假設已知某個微分方程式 dy/dt = f(y,t) 其更具體的形式像是: dy/dt = -a*y+g(t) 基於上列微分方程式，給定驅動項和初始條件，我們可求出對應的反應 y(t) 對於 g(t)，我們可以在一個小時間段取平均而得到 gbar(t;s) = int( g(t,tt), tt = 0 to s)/s 倘若 g(t) = sin(t) 則 s 是某個小於其週期的固定參數值，而我們對 g(t) 在這小時間段 s 取其平均值，使得 g(t) 從原本光滑函數變成片段線性函數 gbar(t,s) 亦即在那小的時間段裡面 gbar(t;s) 是 g(t) 在那小時間段的平均值。現在想知道的是，如果我們也對原本微分方程式的解 y(t) 在小時間段 s 取平均值而得到 ybar(t;s)，這個新變數 ybar(t;s) 和 gbar(t;s) 之間會有怎樣的關係(式)? 直接對原本的微分方程作前述的小時間段積分就好了嗎? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.44.246.26 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1556407627.A.4F4.html

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這就是我卡住的地方。 g 函數從單變數函數"變成"雙變數函數的過程是這樣的。首先我們只知道 g 是 t 的函數，g = g(t) 例如 g(t) = sin(t) 週期 T 接下來我們任意取小時間段 s (<T), 並且在這小時間段內做平均得到 gbar 我們觀察到，在[0,T] 的 t 區間裡面，對於不同的 t 瞬間得的s區間-平均值都不同，所以 gbar = gbar(t) 然後我們又觀察到對同個t瞬間取不同 s 的平均值不同，所以 gbar = gbar(s) 於是就得出變數函數 gbar(t,s)

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