Re: [微積] 兩題IVT(中間值定理)
※ 引述《NTUclyeng (yeng)》之銘言：
: ※ 引述《NTUclyeng (yeng)》之銘言：
: : 在讀微積分的時候，碰到了兩題不知道該如何下手的中間值定理題目，麻煩神人幫我解惑。
: : Ex1:
: : f(x) is continuous on R with period 2pi (i.e. f(x)=f(x+2pi))
: : Show that exist x0 屬於(符號我打不出來QQ) (0,pi) s.t. f(x0)=f(x0+pi)
: : Ex2:
: : f(x) is continuous on [0,2] with f(0)=f(2)
: : Show that exist x,y s.t. |x-y|=1 and f(x)=f(y)
: 自己浮一下QQ
: 因為在看到下面好心大大的留言之後還是不太懂Ex2要怎麼做
: 不知道有沒有人能幫忙寫出詳細過程...
: 感謝大家了
如果第一題做出來了，可以把第二題的 f 直接擴張到整個實數線然後使用第一題的結果
或者也可以直接做：
考慮一個定義在[0,2]上的函數 g(x) := f(x) - f(x+1)。
如果 g(0) = 0，也就是說 f(0) = f(1)，則 x = 0, y = 1 就是你要的。
如果 g(0) ≠ 0，則 g(1) = f(1) - f(2) = f(1) - f(0) = -g(0)，
因此 g(0) 和 g(1) 異號，根據中間值定理，存在 z 在 (0,1) 中使得
g(z) = 0，所以 x = z, y=z+1 就是你要的。
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名字不會定義一個人，名字只會留在一個人所踏過的足跡裡。
--殺老師
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