: Prove that the equation x^4 - y^4 = 2z^2
: has no solutions in positive integers x, y, z.
: [Hint: Because x, y must be both odd or both even, x^2 + y^2 = 2a^2
: , x + y = 2b^2, x - y = 2c^2 for some a, b, c; hence, a^2 = b^4 + c^4 .]
: 我知道hint為什麼可以推到最後一句的形式, 造成題目的方程無解,
: 但是hint的第一句來的有點突然, x跟y奇偶性相同是怎麼推到 x^2 + y^2 = 2a^2 的啊?
: 這題應該是要先分解變成
: (x^2+y^2)(x^2-y^2) = 2z^2
: 到這邊我除了知道x跟y必須奇偶性相同, 就推不出其他東西了...
稍微修正 hint 就可以囉:
令 x^2 + y^2 = 2m, x + y = 2n, x - y = 2k. 則 m = n^2 + k^2.
設 gcd(n,k) = d, 可以得 d^2 | m. 那麼我們可以重寫成
x^2 + y^2 = 2d^2*u, x + y = 2dv, x - y = 2dw, gcd(v,w) = 1.
則有
(*) u = v^2+ w^2;
(**) (2d)^2*uvw = z^2.
若質數 p | gcd(u,v):
則由 (*) p | u-v^2 = w^2 => p | w => p | gcd(v,w) = 1 (矛盾)
因此, gcd(u,v) = 1.
同理, gcd(u,w) = 1.
所以 u, v, w 兩兩互質.
由 (**) 可知 u = a^2, v = b^2, w = c^2.
由 (*) a^2 = b^4 + c^4,
因此, (根據無窮遞降法) 本方程沒有正整數解.
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推
04/03 21:05,
5年前
, 1F
04/03 21:05, 1F
※ 編輯: gg (101.137.16.99), 04/06/2019 01:55:04
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