Re: [線代] rank
: 除了暴力列運算的方法以外，請問第一題要怎麼解比較好呢
關鍵字: confluent alternant.
可以藉由操作 Vandermonde matrix 得知其行列式值.
普通的 Vandermonde matrix 長這樣:
[ 1 a a^2 a^3 ]
[ 1 x x^2 x^3 ]
[ 1 b b^2 b^3 ]
[ 1 y y^2 y^3 ]
將第二列減去第一列, 得到 [ 0 x-a x^2-a^2 x^3-a^3 ].
除掉共同因式 x-a (同時要從原行列式值除掉這項),
再取 x→a, 就會變成 [ 0 1 2a 3a^2 ]. 事實上就是對 entries 取微分.
同理也可以將第四列變成 [ 0 1 2b 3b^2 ].
甚至能推廣到任意多個變數, 每個變數都取不同階數的這類操作.
比如:
[ 1 a a^2 a^3 a^4 a^5 ]
[ 0 1 2a 3a^2 4a^3 5a^4 ]
[ 0 0 2 6a 12a^2 20a^3 ]
[ 1 b b^2 b^3 b^4 b^5 ]
[ 0 1 2b 3b^2 4b^3 5b^4 ]
[ 1 c c^2 c^3 c^4 c^5 ]
其行列式值 = 2 (b-a)^6 (c-a)^3 (c-b)^2.
前頭的 2 是第三列的共同因數, 只是為了符合微分的形式才額外乘上去的.
按照以下的列運算, 會發現 pivots 最後其實是 1.
[ 1 a a^2 a^3 a^4 a^5 ]
[ 1 x x^2 x^3 x^4 x^5 ]
[ 1 y y^2 y^3 y^4 y^5 ]
首先將第二列減去第一列、第三列減去第一列, 再分別除去共同因式 x-a 和 y-a.
[ 1 a a^2 a^3 a^4 a^5 ]
[ 0 1 a+x Σa^i x^j Σa^i x^j Σa^i x^j ]
i+j=2 i+j=3 i+j=4
[ 0 1 a+y Σa^i y^j Σa^i y^j Σa^i y^j ]
i+j=2 i+j=3 i+j=4
接著將第三列減去第二列, 再除去共同因式 y-x, 第三列就會變成
[ 0 0 1 a+x+y Σa^i x^j y^k Σa^i x^j y^k ]
i+j+k=2 i+j+k=3
最後取 x→a 和 y→a 即可.
(在對某變數取極限前, 要確定與該變數相關的列運算都已經做完了.)
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