Re: [線代] 106年台大線代(A)考古題

看板Math作者 (Mathkid)時間7年前 (2019/01/16 14:48), 7年前編輯推噓7(7推 0噓 21→)
留言28則, 3人參與, 7年前最新討論串2/4 (看更多)
※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言： : 1. Show that if R^n = Union W_i, i = 1, 2, 3, ... : W_i are subspaces of R^n : Then R^n = W_i for some i Fact. If V is a vector space over field F, k in Z^+ with k<|F|, and W_1,..,W_k are proper subspaces of V, then V≠∪_{i=1~k} W_i. proof. Suppose V=∪_{i=1~k} W_i. W.O.L.G. we may assume W_i is not contained in ∪_{j≠i} W_j. There are w_i in W_i-∪_{j≠i} W_j for i=1,..,k. Since k≧2, consider a*w_1+w_2 for a in F. Since k<|F|, by Pigeonhole Principle, there are distinct a, b in F s.t. u=a*w_1+w_2 and v=b*w_1+w_2 in W_n for some n. Since u-v=(a-b)*w_1 in W_1-∪_{j≠1} W_j, we have n=1. So w_2=u-a*w_1 in W_1, a contradiction (w_2 not in W_1). QED By above Fact. R^n=W_i for some i : 雖然這題擺明可以用measure做，但線代...? 其實用鴿籠原理就可以了.. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.50.138.101 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1547621307.A.4BB.html ※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 14:51:38
推
01/16 15:17, 7年前 , 1F
cardinality的「≧」可以直接套用嗎？
01/16 15:17, 1F
推
01/16 15:19, 7年前 , 2F
A^n = ∪_{x \in A^n} Ax，A可數(用Q也行)。
01/16 15:19, 2F
→
01/16 15:20, 7年前 , 3F
但任何一個Ax都不是A^n。
01/16 15:20, 3F
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01/16 15:22, 7年前 , 4F
W_i要是subspace
01/16 15:22, 4F
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01/16 15:25, 7年前 , 5F
應該說這裡的k是正整數
01/16 15:25, 5F
我把k改為正整數 ※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:27:01
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01/16 15:26, 7年前 , 6F
Ax={ax|a \in A}都是1-D subspace。
01/16 15:26, 6F
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01/16 15:28, 7年前 , 7F
剛看錯Vulpix的union..
01/16 15:28, 7F
推
01/16 15:29, 7年前 , 8F
我的意思大致上是：R^2 = ∪ 過原點的直線，但R^2不
01/16 15:29, 8F
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01/16 15:30, 7年前 , 9F
是任何一條過原點的直線。這個方法似乎不能解決？
01/16 15:30, 9F
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01/16 15:30, 7年前 , 10F
然後R^2這邊index不可數，所以我才換成Q或A。
01/16 15:30, 10F
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01/16 15:31, 7年前 , 11F
所以我才特別標明k in Z^+
01/16 15:31, 11F
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01/16 15:32, 7年前 , 12F
一般鴿籠的籠子要有限個才比較沒問題
01/16 15:32, 12F
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01/16 15:32, 7年前 , 13F
我會這樣寫是為了讓finite field也行
01/16 15:32, 13F
※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:36:52
→
01/16 15:34, 7年前 , 14F
原命題對finite field沒意義啊。因為真的可以靠1-D
01/16 15:34, 14F
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01/16 15:34, 7年前 , 15F
subspace把F^n拼出來。
01/16 15:34, 15F
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01/16 15:37, 7年前 , 16F
我換個寫法應該會比較清楚
01/16 15:37, 16F
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01/16 15:38, 7年前 , 17F
主要是subspace個數太少就拼不出來
01/16 15:38, 17F
※ 編輯: XII (110.50.138.101), 01/16/2019 15:39:31
推
01/16 15:39, 7年前 , 18F
所以我才會問：能直接套到cardinality嗎？
01/16 15:39, 18F
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01/16 15:40, 7年前 , 19F
原命題確實就是因為subspace個數太少(可數不夠)。
01/16 15:40, 19F
→
01/16 15:43, 7年前 , 20F
其實寫W_1,..,W_k有隱含(?)k是正整數的意思
01/16 15:43, 20F
推
01/16 16:01, 7年前 , 21F
1,2,3,...的"..."不應該是隱含可數無窮多嗎？
01/16 16:01, 21F
推
01/16 16:02, 7年前 , 22F
沒問題 XII的證明應該可以推到 R
01/16 16:02, 22F
→
01/16 16:49, 7年前 , 23F
1,2,3,...,k 應該沒有隱含可數無窮多吧..
01/16 16:49, 23F
→
01/16 17:51, 7年前 , 24F
Vulpix的A^n不是反例吧,|{x in A^n}|=|A|(A可數)
01/16 17:51, 24F
推
01/16 18:01, 7年前 , 25F
原命題換成太小的field，會錯。這是我寫反例二字的
01/16 18:01, 25F
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01/16 18:01, 7年前 , 26F
意思。
01/16 18:01, 26F
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01/16 18:03, 7年前 , 27F
會錯都是是原命題，不是你想證的Fact。
01/16 18:03, 27F
→
01/16 18:38, 7年前 , 28F
原來我一直誤會V大指的對象…
01/16 18:38, 28F
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