Re: [機統] 一個骰子相關的問題
※ 引述《yyhsiu (hsiu)》之銘言：
: 大家好，以下是個擲骰子相關的問題。覺得有點難，想不出好辦法想請問大家
: 擲(6面公平)骰子過程：不斷的丟，直到出現6就停止。
: 問：在已知整個數列是遞增(可以等於)的情況下，數列的長度的期望值是多少？
: ------------------------
: 我很暴力 (加上程式模擬驗證) 的求出答案了，但感覺有比較漂亮的想法
: 謝謝大家！
||||_ _ ... _ _ 6
n-1個空位
前面是隔板，把空位和隔板排列完如果長這樣：
_ _ ||| _ |6
那點數排列就是
1 1 4 6
所以空位隔板的排列數和遞增數列之間有一一對應。
可得 P(數列長度=n|數列遞增) = C(n+3,4)/6^n /ΣC(k+3,4)/6^k
其中 ΣC(k+3,4)/6^k = 1/6 / (5/6)^5
所求 = E[數列長度|數列遞增] = ΣnC(n+3,4)/6^n *6*(5/6)^5 = 2
主要用到 (1-x)^{-m} = ΣC(n,m-1)x^{n-m+1}
硬算的，但沒有很不漂亮。
感覺上，這個期望值2不依賴骰子面數這一點比較有趣。
即使是公正硬幣(H=1,T=2)或者正20面骰，數列長度的期望值也都是2。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58
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※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 01/11/2019 12:49:40
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m面骰(奇怪的m可以直接用均勻球體，表面積m等分)
P(數列長度=n & 數列遞增到m為止) = C(n+m-3,m-2)/m^n
總和 = P(數列遞增到m為止) = 1/{ m * (1-1/m)^{m-1} }
E[數列長度|數列遞增到m為止] = Σ n*C(n+m-3,m-2)/m^n *m*(1-1/m)^{m-1} = 2
啊，是不是「遞增數列」和「遞增到m的數列」之間的差異？
也有可能有數列一直遞增都上不來？但是這種應該是要排除的，畢竟這種數列都無限長。
兩面骰只有一個這種數列：{1,1,1,1,...}，機率是0。
但是三面骰開始這種數列就變成無限多個了，總機率也是0。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 01/14/2019 09:40:37
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