Re: [微積] 多變數極限的問題

看板Math作者Desperato (Farewell)時間5年前 (2019/01/01 21:36)推噓8(8推 0噓 35→)

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※ 引述《ac01965159 (leeleo)》之銘言： : https://i.imgur.com/DxuyyTl.jpg

: 關於最後等於0那邊，如果m趨近正負無限，則最後結果應該不會為0才對嗎？ : 比如說從y軸靠近(0,0)那點的話。 : 謝謝各位 : R 大想表示的東西，光靠推文有點不太容易說明，所以回了一篇這題的答案是對的，但作法是錯的在這題沒問題只是剛好沒出毛病，其他題會掛掉 A. 反例 x^2 y ex: f(x, y) | = --------- , (x, y) != (0, 0) | x^4 + y^2 | | = 0 , (x, y) = (0, 0) 請問 f(x, y) 在 (0, 0) 連不連續呢？ sol: 先用原本那題的做法設 y = mx x^2 y m x^3 m x --------- = ------------- = --------- x^4 + y^2 x^4 + m^2 x^2 x^2 + m^2 m x 因此 lim f(x,y) = lim --------- = 0 (x,y)->(0,0) x-> 0 x^2 + m^2 y = mx 如果擔心 m 不是有限的情況，那就是鉛直線 x = 0 吧，ok 的 0 lim f(x,y) = lim --------- = 0 (x,y)->(0,0) y-> 0 0 + y^2 x = 0 但是很可惜，這題答案是不連續。原因是有反例，設 y = x^2 x^4 1 lim f(x,y) = lim --------- = --- != 0 (x,y)->(0,0) x-> 0 x^4 + x^4 2 y = x^2 這個情況跟前面的 y = mx 和 x = 0 不一樣的是它沿著 y = x^2 的圖形進入 (0, 0)，這條線是曲線不是直線 B. 一般解法好，接下來問題來了，回到原題，答案是連續的也就是說，不管你試 y = x^2 或 y = x^3 或是 y = sin x 或是其他亂七八糟的曲線，只要回到原點，通通會得到極限為 0 那要怎麼樣才能保證，無論走哪一條曲線，極限都會是 0 呢？這就要思考，有沒有一個簡單方便好算的特性能讓我們看出一個點有沒有走到原點，無論是走哪條路徑幸運的是，有的，就是距離沒錯，不管走哪條路徑，到原點的距離一定會縮減至 0 的嘛也就是 (x, y) -> (0, 0) 若且唯若 r -> 0+ 這就是一般證明平面上二元函數連續的作法因此現在要設 x^2 + y^2 = r^2，或者參數式 x = r cos(t), y = r sin(t) 原題的證明就會變成 r^2 cos^2(t) r^3 sin^3(t) lim f(x,y) = lim ---------------------------- (x,y)->(0,0) r->0+ 2r^2 cos^2(t) + r^2 sin^2(t) cos^2(t) sin^3(t) = lim r^3 ----------------- r->0+ cos^2(t) + 1 右邊那項，分母 >= 1，分子絕對值不超過 1，因此是有限值可以用 r^3 夾擠輕易得到極限為 0 上面那題不連續的證明則是變成 r^2 cos^2(t) r sin(t) lim f(x,y) = lim --------------------------- (x,y)->(0,0) r->0+ r^4 cos^4(t) + r^2 sin^2(t) r cos^2(t) sin(t) = lim ----------------------- r->0+ r^2 cos^4(t) + sin^2(t) 注意參數式的情況 t 會是任意值但不代表 t 是定值，定值是直線的情況 t 可以是 r 的連續函數，造成情況複雜化就像這題變的超難，反而不知道怎麼算了XD 要是看的出可以令 r cos^2(t) = sin(t)，還不如一開始上 y = x^2 嘛不過，姑且還是看的出端倪的 cos^2(t) sin(t) = lim r ----------------------- r->0+ r^2 cos^4(t) + sin^2(t) cos^2(t) 後面那項 r 代 0 的時候，會跑出 -------- sin(t) 當分母 sin(t) 變成 0 的時候，剛好可以跟前面的一個 r 抵銷最晚到這裡的時候，就要開始思考其實根本不連續吧XD C. 延伸說明上面的 x^2 + y^2 = r^2 有點類似收費圈或者包圍網想要走到 (0, 0) 就必須經過這個圈反過來說，雖然走到這個圈，不見得會碰到 (0, 0) 但如果多設幾個圈 r = 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 並規定所有圈圈都要經過的話，那肯定就會被強迫走到 (0, 0) 了姑且把這個叫做連續收費圈好了(好可怕) 很明顯，連續圈的設置不是唯一的可以設的更為鬆散，例如 r = 1, 0.1, 0.01, 0.001, ... (其實只要 r -> 0+ 一路上都有，我們不會太在意怎麼設置連續圈但一定有無限個，否則最裡面那個小圈會有腹地，就能閃過原點) 或甚至可以改變形狀，只要不要太過惡搞應該都沒問題的以原題來說，由於分母的關係設 2x^2 + y^2 = b^2 也就是橢圓圈圈，可能會好算一些這時候 x = (b/√2) cos(t), y = b sin(t) (b^2/2) cos^2(t) b^3 sin^3(t) lim f(x,y) = lim ----------------------------- (x,y)->(0,0) b->0+ b^2 cos^2(t) + b^2 sin^2(t) b^3 = lim --- cos^2(t) sin^3(t) b->0+ 2 顯然右側絕對值不超過 1，因此由夾擠定理可得極限為 0 p.s. 連續圈的思考模式基本就是高微(分析)的玩法了有興趣的話可以去修高等微積分或分析導論XD D. 結論相關種類的題目，根據答案不同而有不同的證明方法若答案是連續的，那必須要採取上述使用距離 r 的作法，才叫嚴謹證明若答案是不連續，上列做法反而是給自己找碴找到反例就足夠了，雖然反例不見得是直線因此，提前猜測答案是否連續，就變得很重要這個通常要依賴經驗或是試誤法(隨便猜一個，算到一半變的很難算就換一個XD) 姑且分子分母的次數是有差的可以看到，原題可以提出 r^3 ，另一半是全 t，因此輕輕鬆鬆得到答案 (事實上再少兩個 r 還是會歸 0) 反例則是通通混在一起，弄的超級難算不過最後還是回到經驗啦，多做幾次就知道了 -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.25 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1546349765.A.1F7.html

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Ricestone

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keroro321

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Desperato

01/01 22:12, 5年前 , 3^F

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