Re: [微積] 體積分看不懂為什麼這樣積
※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言：
: RT，洨弟這學期當微積分迷你助教，看到某題有小妹創造了神奇算法，讓我好不驚訝
: 那題題目是這樣的：
: 試求 SSS z dV，積分範圍是被一個拋物面 z = x^2 + y^2 和平面 z = 4 所包住。
: 小妹的解法是這樣的：
: (0->2pi)(0->2)(0->r^2) r^2 * r dz dr d(theta)
: 我一直看不出來為什麼要這樣積，但神奇的是她的數字竟然跟標準解答一模一樣，
: 而且我把題目換成 SSS z^2 dV 或 平面 z = 9，都是對的
: 只有在拋物面改成 z = (x^2 + y^2) ^ 1.5 的時候才不一樣
: 有人知道為什麼嗎？
: 前幾名的正解都給 100 P 好惹，洨弟沒啥經費，
: 如果確定解法是錯的話就看心情發，感謝各位板友。
現在剛好有時間回這一篇
我先把結論寫出來：
那位小妹99.99%是矇對的，可惜她運氣不好，碰上一個會細心的閱卷者。
z = f(r)
∫dθ = 2π這個因子下面我就省略了
設r_max = a = 本題的2
a f(a) a f(a) a f(r)
正解∫r∫zdz dr = ∫r∫ zdz dr - ∫r∫ zdz dr
0 f(r) 0 0 0 0
a f(r)
現在我們要決定f(r) 使得上式 = ∫rf(r)∫dz dr
0 0
a f(r)
= 2∫r∫z dz
0 0
a f(r) a f(a)
=> 3∫r∫ zdz dr = ∫r∫ zdz dr
0 0 0 0
=> 3r[f(r)]^2 = r[f(r)]^2 + r^2 [f(r)][f'(r)]
=> f(r) = Ar^2
所以如排除掉trivial解
條件其實很死，就是2次函數
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推
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7年前
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