Re: [微積] 切線過點的點的條件
詳細很麻煩懶得打也懶得想證明
基本原理 拿一隻筆當切線 滑過去就知道了
給定二次可微 f(x), 若[a, b]段是convex
則作La為過(a, f(a))斜率f'(a)
Lb比照辦理
此時 f(x) 的 [a, b] 段和 La, Lb 會分成 5 部分
R是被三線圍起來的部分計 2 次
從 R 越過 f(x) 的部分計 0 次
從 R 越過 La 或 Lb 的部分計 1 次(兩部分)
從 R 越過 La 和 Lb 的部分計 0 次
若 [a, inf) 段是 convex
此時 f(x) 的 [a, inf) 段和 La 會分成 3 部分
R是 f(x) 凸出方向和 La 圍成的部分計 2 次
從 R 越過 f(x) 的部分計 0 次
從 R 越過 La 的部分計 1 次
然後 把 f(x) 用反曲點分段 通過區域加總就好
過反曲點的切線應該是大重點
分段後的 R 區域不會重疊
因此 n 次多項式 最多只會跑出
被 n 點通過的區域(而且一定會是某個R區域內)
一般情況的詳細證明不知道 大概跟數學歸納法有關
以本題來說 3次式要有3切線
基本上一定要在蛋黃區 R 內
所以首先 y=x^3 本身不可能
第一象限中 y>x^3 是碗內區 更不可能
所以只有 y<x^3 區是可能的
以下的寫法是臨時想的 不知道能不能做
對於在第一象限 y<x^3 區的 P(a, b)
作OP直線 交y=x^3於 A, B, C
則 A, B 段內有一點的切線過 P
B, C 段內有一點的切線過 P
作過P鉛直線 交y=x^3於 D
則 D 右側有一點的切線過 P
※ 引述《asdfjoe (逍遙客)》之銘言
: 題目：考慮第一象限的點P（a,b)
: 若曲線y=x^3有三條切線過P，
: 則a,b所滿足的充分必要條件為何？
: （台大103年轉學考微積分）
: 我的想法是令切點（x,y)
: y’=3x^2 然後會有斜率的關係式
: 得到這方程式：2x^3 - 3ax^2+b=0 (*)
a, b 大於 0
2x^3 - 3ax^2 有根 0, 0, 3a/2 (**)
若方程式(*)要有 3 根 則 (**)區域極小值要小於 -b
6x^2 - 6ax = 0, x = 0, a
所以有 2a^3 - 3a^3 < -b
i.e. b < a^3
這是特殊化的解法
: 然後接下來我就卡住了
: 後來網路上查到
: 有人接下來用三次方程式的判別式
: 可是，這是我第一次看到這個判別式
: 所以研究了一下維基。
: 於是，我想問如果不去記維基上的判別式
: 有沒有更為一般化的解法去求這個條件
: 畢竟，我沒有印象以前學過一元三次判別式
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04/28 11:56, 1F
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微積
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