[微積] [觀念求問]以ε-δ程序證明 lim_(x->1)

看板Math作者 (norgthas)時間6年前 (2018/04/14 17:57), 6年前編輯推噓9(9推 0噓 28→)
留言37則, 6人參與, 6年前最新討論串1/2 (看更多)
題: 以ε-δ程序證明 lim_(x->1) [x/2x+3)]=1/5 解答作法: (1)對ε>0, 找到δ>0, 使得當0<|x-1|<δ, 有|[x/(2x+3)]-1/5]|<ε (2)由|[x/(2x+3)]-1/5]=3/5|(x-1)/(2x+3)|<ε 若限制0<|x-1|<1=> 0<x<2 取x=0代入上式之分母得3/5|(x-1)/(0+3)|=1/5|x-1|<ε 取δ=δ(x)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε} 必有|x/(2x+3)-1/5|<ε __________________________________________ 這就是完整的題目跟解答了 我不懂的是對於將|x-1|限制於0和1之間的行為動機以及依據的觀念, 為什麼是限制在小於1? 因為其他題目解答的解題過程中都沒有加上這樣的限制 更準確地說, 一定要是1嗎? 如果是0.000000.1呢? 根據定義只要大於0, 我愛代哪個數都可以對吧是嗎? 接著 雖然說照著解答上這樣以這條限制去帶入解題確實找出了δ=δ(ε) "取x=0代入分母得3/5|(x-1)/0+3|=1/5|x-1|<ε 取δ=δ(ε)=5ε, 則當δ=min{1, 5ε}, 必有|x/(2x+3)-1/5|<5ε" Q.2 特別挑0代入是為了變出後面的|x-1|嗎? 而可以只代入分母保留分子x-1這手法我也是第一次知道 這題把我對極限的觀念跟想法搞得好亂啊 請問 跪求解惑 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.77.126.75 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1523699873.A.6B8.html ※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 17:58:30
推
04/14 19:43, 6年前 , 1F
這是書上的範例吧!?
04/14 19:43, 1F
→
04/14 19:43, 6年前 , 2F
抱歉 看不太懂也無心想去了解 你的限制那裡
04/14 19:43, 2F
推
04/14 19:45, 6年前 , 3F
方便給原題嗎？？
04/14 19:45, 3F
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04/14 19:45, 6年前 , 4F
由|x/(2x+3)-1/5|=3/5|x-1|<ε不就可知當δ=5/3ε..
04/14 19:45, 4F
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04/14 19:46, 6年前 , 5F
然後就證明完了
04/14 19:46, 5F
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04/14 19:46, 6年前 , 6F
嗎 不是嗎
04/14 19:46, 6F
推
04/14 19:49, 6年前 , 7F
更正：當->取
04/14 19:49, 7F
更正發文 ※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 20:14:17
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04/14 20:14, 6年前 , 8F
對於第一個問題：極限的精神在epsilon和delta要多小
04/14 20:14, 8F
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04/14 20:14, 6年前 , 9F
就有多小，至於delta不算小的時候會怎樣我們根本不
04/14 20:14, 9F
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04/14 20:14, 6年前 , 10F
管。
04/14 20:14, 10F
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04/14 20:17, 6年前 , 11F
換句話說，就是|x-1| > 1的部分跟你要的極限八竿子
04/14 20:17, 11F
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04/14 20:17, 6年前 , 12F
打不著關係，我直接不理他也沒差。
04/14 20:17, 12F
推
04/14 20:24, 6年前 , 13F
那你可不可以切在 |x-1|= 0.00001的地方？
04/14 20:24, 13F
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04/14 20:28, 6年前 , 14F
那也沒什麼不可以啊。只要是固定的有限距離，在你不
04/14 20:28, 14F
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04/14 20:28, 6年前 , 15F
斷趨近的過程，遲早都會變成離開x=1很遠所以跟極限
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04/14 20:28, 6年前 , 16F
無關。
04/14 20:28, 16F
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04/14 20:29, 6年前 , 17F
如果在證明裡需要切，一般都是挑個方便計算的範圍
04/14 20:29, 17F
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04/14 20:30, 6年前 , 18F
例如這題。
04/14 20:30, 18F
推
04/14 20:52, 6年前 , 19F
請問這是 書上的範例還是書上的習題跟解答呢
04/14 20:52, 19F
劉明昌老師的微積分書上的例題, 我漏打了一些東西, 本文已修正
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04/14 20:52, 6年前 , 20F
Example or Exercise?
04/14 20:52, 20F
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04/14 20:53, 6年前 , 21F
還是 是你們助教或老師 自己手寫給的 解答呢
04/14 20:53, 21F
推
04/14 21:03, 6年前 , 22F
你是不是問為什麼可以x=0帶入
04/14 21:03, 22F
是的, 而且只代入分母而使得分子為|x-1|這手法我看不太懂說, 好像跟我以前學的計算觀念不太一樣 ※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 21:03:37 ※ 編輯: norgthas (42.77.126.75), 04/14/2018 21:07:07
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04/14 21:10, 6年前 , 23F
sorry 我前面19:45~19:49推文 我以為通分就找得到
04/14 21:10, 23F
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04/14 21:10, 6年前 , 24F
害你誤會 Sorry
04/14 21:10, 24F
推
04/14 21:13, 6年前 , 25F
那句令x=0代入分母我完全不敢恭維...雖然證法是可以
04/14 21:13, 25F
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04/14 21:13, 6年前 , 26F
導到同樣一步, 但那句話會讓人誤會啦
04/14 21:13, 26F
推
04/14 21:15, 6年前 , 27F
你不要看x=0代入, 然後想一想給x一個固定限制條件
04/14 21:15, 27F
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04/14 21:15, 6年前 , 28F
的合理性(為什麼可以這樣), 反正一切都合定義
04/14 21:15, 28F
推
04/14 21:35, 6年前 , 29F
挑0代入是因為這樣δ算出來最小，當誤差ε小於5時，
04/14 21:35, 29F
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04/14 21:35, 6年前 , 30F
能確保你所取δ小於這個誤差ε，否則就會不符合定義
04/14 21:35, 30F
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04/14 21:41, 6年前 , 31F
更正 ε小於1/5
04/14 21:41, 31F
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04/14 21:50, 6年前 , 32F
也就是說，當誤差ε比1/5來得大時，只要取δ=1即可
04/14 21:50, 32F
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04/14 21:50, 6年前 , 33F
滿足定義，但ε比1/5小的時候，就必須取δ=5ε才能
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04/14 21:50, 6年前 , 34F
滿足定義，這樣子就已經證明了對於所有的ε，皆能
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04/14 21:50, 6年前 , 35F
找到相對應的δ使得函數值與極限值誤差小於ε
04/14 21:50, 35F
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04/22 11:00, 6年前 , 36F
已解 真的很謝謝大家
04/22 11:00, 36F
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04/22 11:00, 6年前 , 37F
04/22 11:00, 37F
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文章代碼(AID): #1QqT2XQu (Math)
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