[分析] <α',α'>α'' = <α',α''>α'

看板Math作者 (QQ)時間7年前 (2018/04/02 11:19), 7年前編輯推噓4(4推 0噓 12→)
留言16則, 4人參與, 7年前最新討論串1/3 (看更多)
請問一下 令α：[a,b]→R^n 如果α滿足 <α',α'>α'' = <α',α''>α' 如何證明α'' = 0 on [a,b] ?? P.S. (1) 這是用變分法實作R^n兩點間最短距離=直線，所以α'' = 0應該是對的 (2) 沒有假設arclength，所以<α',α''> =0 不能用 (3) n=2時且令α(t) = (t,f(t))，結果會是對的， 但是for general α(t) = (x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)) 就不知道怎麼推QQ 目前只有覺得 α''與α'同向幾乎是不可能的，但是搬來搬去，內積來內積去 就只是在同一個等式繞圈子... 謝謝幫忙! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.128.169.29 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1522639179.A.BB5.html
推
04/02 11:33, 7年前 , 1F
你的式子，在直線上的變速率運動必定成立
04/02 11:33, 1F
推
04/02 13:01, 7年前 , 2F
如果 a'' 和 a' 平行 則 a 只能是直線(有這種東西
04/02 13:01, 2F
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04/02 13:01, 7年前 , 3F
嗎? 我對這邊很不熟)
04/02 13:01, 3F
我也有這個fu XD
推
04/02 13:12, 7年前 , 4F
乘以積分因子 <α',α'>^-1.5 後可以直接積分。
04/02 13:12, 4F
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04/02 13:14, 7年前 , 5F
你只是想要：curvature=0 => straight line
04/02 13:14, 5F
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04/02 13:16, 7年前 , 6F
所以其實此時可以先證明：換一個參數，方程式長相仍
04/02 13:16, 6F
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04/02 13:17, 7年前 , 7F
一樣。這樣一來就可以換到弧長參數上去做。
04/02 13:17, 7F
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04/02 13:20, 7年前 , 8F
至於如果 a'' 和 a' 平行，a 真的只能是直線。
04/02 13:20, 8F
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04/02 13:21, 7年前 , 9F
因為如果有歪掉，勢必要轉彎，一轉彎就要有法線加速
04/02 13:21, 9F
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04/02 13:21, 7年前 , 10F
度，那加速度 a'' 和速度 a' 就不平行了。
04/02 13:21, 10F
謝謝V大 我等等試試看積分因子 <α',α'>^-1.5 至於reparametrized by arclength 還有t,n,b坐標系 , curvature torsion... 這些曲線幾何的東西我當時沒引入 主要是覺得應該可以不用以上這些 去簡單的證出α''=0 只是不知道哪裡卡住了QQ ※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 04/02/2018 13:38:40
推
04/02 23:09, 7年前 , 11F
另一個證明。原式內積α'，並由柯西不等式知道α'和
04/02 23:09, 11F
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04/02 23:10, 7年前 , 12F
α"平行。打完才發現是多餘的，重來。
04/02 23:10, 12F
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04/02 23:45, 7年前 , 13F
原式其實是 α" = f(t)α' 這種長相，所以解就是
04/02 23:45, 13F
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04/02 23:46, 7年前 , 14F
α'(t) = e^(∫fdt)α'(0)，然後再積分一次就看到直
04/02 23:46, 14F
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04/02 23:46, 7年前 , 15F
線了。
04/02 23:46, 15F
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04/03 12:58, 7年前 , 16F
這不錯耶!! 謝謝V大
04/03 12:58, 16F
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