Re: [中學] 等差級數問題
※ 引述《duckie (達奇)》之銘言：
※ 引述《zoayzoay (陋衣)》之銘言：
: 請教一題
: 甲、乙同時跑ㄧ圓形操場，甲第一圈跑100秒，第二圈跑97秒，如此每圈減少
: 3秒進行；乙每圈固定跑80秒，試問：甲經 秒後恰可追上乙?
推
01/07 02:46,
01/07 02:46
→
01/07 02:46,
01/07 02:46
→
01/07 02:46,
01/07 02:46
→
01/07 02:46,
01/07 02:46
觀察甲乙每圈跑的秒數:
甲 乙 甲跑完一圈後乙多跑的累進距離(設操場周長=L)
第1圈完 100 秒 80 秒 20*L/80 (乙速率=L/80) < L
第2圈完 97 秒 80 秒 (20+17)*L/80 = 37L/80 < L
第3圈完 94 秒 80 秒 (20+17+14)*L/80 = 51L/80 < L
第4圈完 91 秒 80 秒 (20+17+14+11)*L/80 = 62L/80 < L
: : : :
第n圈完 100-3(n-1) 秒 80 秒 (43-3n)n/2*L/80
(n為正整數)
所以每當甲跑完一圈 乙就離甲 (43n-3n^2)/160 * L 的距離, 配方法得
[-3(n-43/6)^2/160 + 1849/1920]*L, 當n = 7圈時差距將近最大值 77L/80 < L
甲乙差距仍小一圈 而到了第8圈差距就變小 所以我就沒有討論這個部分
推
01/07 12:56,
01/07 12:56
→
01/07 12:56,
01/07 12:56
→
01/07 12:56,
01/07 12:56
其實這個部分就已經不算是等差數列與等差級數了
如果要符合這種情形 就必須以x-t圖 (y軸表示跑的距離 x軸表示時間)來想
假設操場一圈L
甲的x-t情形:
時間(秒數)
起點 = 0 0
第1圈 = L 100
第2圈 = 2L 100+97
: :
第n圈 = nL (203-3n)n/2
因為不能每一圈跳一個級距 故n為實數 且n>=0
甲的x-t圖之動點P(x,y) = ( (203-3n)n/2, nL ), x,y皆>=0
n = y/L 代入 x = (203-3n)n/2
整理得甲的x-t曲線: y = L/6*[203-(41209-24x)^0.5]
乙的x-t情形:
時間(秒數)
起點 = 0 0
第1圈 = L 80
第2圈 = 2L 160
: :
第n圈 = nL 80n
同樣n為實數 且n>=0
乙的x-t圖: y = L/80*x
甲乙花了相同時間 來到相同的位置 => 求兩圖交點
L/6*[203-(41209-24x)^0.5] = L/80*x
x(9x-10320) = 0
_
x = 0 秒 or 10320/9 = 1146.6 秒 (0秒為起點 故不合)
_ _
y = 14.3 L 即 14.3 圈
p.s x-t圖的y軸其實是指位置 而非跑的距離 但跑圓形操場時每一圈回到原點就變成0
操場位置又要用極座標表示
又因為之前討論發現其實沒有乙多跑一圈以上 甲才碰到乙的問題
所以我就轉換成跑直線的情形
如果有誤請指教 謝謝~
--
★ 聽說今天的星星很漂亮…可惜我看不到…
★
★ ●
█＞
√√ ▉█
▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂By duckie ▉█
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.28.100.221
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1515342136.A.455.html
※ 編輯: duckie (110.28.100.221), 01/08/2018 00:25:26
推
01/08 01:52,
8年前
, 1F
01/08 01:52, 1F
推
01/08 01:58,
8年前
, 2F
01/08 01:58, 2F
→
01/08 01:58,
8年前
, 3F
01/08 01:58, 3F
→
01/08 01:58,
8年前
, 4F
01/08 01:58, 4F
討論串 (同標題文章)