Re: [代數] 求實根問題
※ 引述《Mistouko (Mistouko)》之銘言：
: (1)試證：方程式 x^3+4x=10 恰有一實根。
: (2)承(1)，設此實根為α，請問α最接近哪一個整數？
: (3)承(1)，(2)，請問方程式 x^37+4x^13-10x=0 共有幾個實根？
: 想法：
: (1)利用勘根，找到f(1)×f(2)<0，故在1和2之間至少有一實根。
: 再設α，β為2個正實根。
: 即f(α)=α^3+4α-10=0
: f(β)=β^3+4β-10=0
: 兩式相減， (α-β)(α^2+αβ+β^2)+4(α-β)=0
: (α-β)(α^2+αβ+β^2+4)=0
: 因為α，β為兩正實根，故α^2+αβ+β^2+4≠0
: 即α=β，故恰有一實根。
: (2)因f(3/2)<0，故f(3/2)×f(2)<0，即最接近整數 2
: (3)x^37+4x^13-10x=x(x^36+4x^12-10)=0
: 故x=0或x^36+4x^12-10=0
: 若x^36+4x^12-10=0，則利用勘根定理，f(1)×f(2)<0，
: 且 f(-1)×f(-2)<0，故共有3實根----->這個答案對嗎？
: 麻煩各位高手了，因為第三題沒有答案，怕解題觀念有錯。
: 而第一題這樣證明有沒有問題呢？
: 謝謝大家 :)
(1)令x=alpha+beta
則(alpha+beta)^3+4(alpha+beta)=10
=> (alpha^3+beta^3)+(3alpha*beta+4)(alpha+beta)=10
即可設3alpha*beta+4=0
使得alpha^3+beta^3=10,(alpha^3)(beta^3)=-64/27
解一元二次t^2-10t-(64/27)=0
得t={10-sqrt[10^2+(4*64/27)]}/2,{10+sqrt[10^2+(4*64/27)]}/2
於是乎
x={[5-[(1/9)sqrt(739)]}^(1/3) + {5+[(1/9)sqrt(739)]}^(1/3)
為其一實數解...
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