Re: [分析] Gronwall ineq. |y'|<=|y|

看板Math作者 (Farewell)時間8年前 (2017/10/25 15:42), 8年前編輯推噓7(7推 0噓 12→)
留言19則, 3人參與, 8年前最新討論串2/2 (看更多)
※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言： : 過去曾解過幾個簡單的微分不等式，但今天看到一道題目，感覺也是在解微分不等式，但 : 因為有絕對值，我實在不知該如何下手，請賜教，謝謝。 : Find a nontrivial solution y=f(x)≠0 satisfying the Gronwall inequality : |y'|≦|y| with the initial value condition y(1)=0. 首先 這部分我不太熟 我也沒找到答案 另外我不確定是不是對的 因為得到奇怪的結果... Let y in C^1, i.e. y is continuously differentiable on (1, inf) Assume y != 0 Now suppose y is continuous on x = 1 then y is continuous on [1, 3/2] |y| is bounded by M and there is some x in (1, 3/2], |y(x)| = M Now M = |int_1^x y' dx| <= int_1^x |y'| dx <= int_1^x |y| dx <= (x-1) M < M which leads to a contradiction Thus either y is not continuous on x = 1 or y is not C^1 on (1, inf) (only differentiable) 雖然是寫 C^1, 實際上只是用在微分後可積分而已, 應該能夠弱化很多 總之如果有答案 應該會有一定的醜度... -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1508917352.A.66B.html
推
10/25 16:39, 8年前 , 1F
我找時間拍一下原本的證明 或許會有幫助
10/25 16:39, 1F
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10/25 16:47, 8年前 , 2F
如果有就太好了 感謝qw q
10/25 16:47, 2F
推
10/25 17:58, 8年前 , 3F
10/25 17:58, 3F
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10/25 17:59, 8年前 , 4F
10/25 17:59, 4F
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10/25 18:00, 8年前 , 5F
以前修sde老師給的證明(給反了) Oksendal裡面應該是
10/25 18:00, 5F
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10/25 18:00, 8年前 , 6F
sketch proof
10/25 18:00, 6F
好吧我錯了 根本看不懂...qw q → cyt147 : 沒想到要走到這步...這是台大碩士班入學考題 10/25 21:22
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10/25 21:56, 8年前 , 7F
樓上走財經嗎？
10/25 21:56, 7F
推
10/25 22:40, 8年前 , 8F
我剛剛找了題目 確實沒有錯 這問的到答案嗎??
10/25 22:40, 8F
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10/25 22:41, 8年前 , 9F
因為我證出y是零函數............
10/25 22:41, 9F
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10/25 22:41, 8年前 , 10F
而且前提只要：y在R連續 在非整數點可微 即可
10/25 22:41, 10F
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10/25 22:42, 8年前 , 11F
微分後可積這條件也不用 因為D大作法可以用MVT帶過
10/25 22:42, 11F
原來是這樣 那不就是我的作法也得到0函數了 我在網路上看到Gronwall ineq.(如果寫成積分版本) 不需要differentiable 其實可以改成 bounded variation...只要是nonnegative (所以我才會想 會不會其實是很醜的函數)
推
10/26 06:54, 8年前 , 12F
我筆記就有寫y(t) = 0 for all t
10/26 06:54, 12F
推
10/26 06:55, 8年前 , 13F
沒記錯的話Gronwal ineq是用來證明解的存在性
10/26 06:55, 13F
原來如此 ※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 13:31:38
推
10/26 14:21, 8年前 , 14F
我越來越好奇答案是什麼了...
10/26 14:21, 14F
我有弄出過 y在[1,x)上not monotone 以及[1,x)上not positive的結果 原本覺得答案該不會長的像xsin(1/x)這種鬼東西 可是弄出 y在[1,x)上not differentiable之後就不知道怎麼辦了(攤手) ※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 14:52:23
推
10/26 14:55, 8年前 , 15F
如果有答案 一定是那鬼東西
10/26 14:55, 15F
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10/26 14:56, 8年前 , 16F
昨晚試了一下 只要y在任何finite interval中
10/26 14:56, 16F
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10/26 14:56, 8年前 , 17F
不可微的點只有有限個 那只要y(some pt)=0
10/26 14:56, 17F
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10/26 14:56, 8年前 , 18F
就會拓到全部
10/26 14:56, 18F
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10/26 14:56, 8年前 , 19F
不過我搞不懂這題出題者要考啥@@
10/26 14:56, 19F
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Gronwall_lemma 我對Gronwall ineq的印象全部來自這裡XD (以前不認識) 其實我在想 如果不需要 continuous 也不需要 |y'|<=|y| everywhere的話 那 given 1+1/n <= x < 1+1/(n-1), y(x) = 1/n 就能解決問題 可是這很蠢www (而且積分起來並不符合Thm 2中 B=0, C=1 的條件) ※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 10/26/2017 15:09:26
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