Re: [其他] Solve the Clairaut O.D.E. with B.C.
※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言：
: Find a differentiable function y=f(x) satisfying the Clairaut differential
: equation y=xy'-(1/4)(y')^2 and the boundary value conditions y(-1)=3/4=y(1).
: 我對方程式微分得到 0=[x-(1/2)y']y'' ，然後算出y=x^2-1/4或y=3/4，這不合原
: 方程式。請問還有什麼路可以走嗎?謝謝。
f 雖然 C^1，但沒有 C^2。
先在 f" 也連續的區間（如果有的話）內找：
(1) y"=0 => y=ax+b, 代回原ODE, 得 b=-a^2/4 => y=ax-a^2/4
(2) x-(1/2)y'=0 => y=x^2+c, 代回原ODE, 得 c=0 => y=x^2
很容易驗證 (1) 的解都是 (2) 的解的切線。
拼湊這一條拋物線和那些切線可得一 f：
f(x) = x-1/4 , 1/2＜x≦1
x^2 , -1/2≦x≦1/2
-x-1/4, -1≦x＜-1/2
剛剛擔心的「如果沒有」，就煙消雲散了。
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討論串 (同標題文章)
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