[幾何]兩解析反函數，遞減且convex之至多交點
抱歉文章分類不知道選得好不好.
標題因字數限制，不夠完整，重述題目(做工程時被啟發的問題，不是作業)如下：
「
考慮兩個相異解析(analytical)函數，互相為反函數(inverse function)，
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(編輯修文)
且皆為嚴格單調遞減(strictly monotonically decreasing)且為凸函數(convex
function)，在平面上兩個函數的交點最多為幾個?
」
小弟工學院背景 孤陋寡聞 最多只學過工程數學
想請教各位大大，如題，不知道這個問題是否有既定答案或資料？
我個人想的答案是：最多3個
我先把我可以列舉的兩個Case說明：
(1)最簡單的y = a(x^2) + bx + c, x<= (-b/a)
反函數為 x = a(y^2) + by + c, y<= (-b/a)
直接解聯立方程，至多1個解
---------
(2) y = d exp( -T x)
(為了遞減，T>0, d>0)
和反函數 y = -[ln (x/d)]/ T
我用Python套件Matplotlib
可畫出兩種情形
(2a)參數設定
d= 1200
T = 0.00154
則有一個相交點
示意圖(S點)：
https://goo.gl/JdpPpA
(2b)
如果參數為：
d= 2000
T = 0.00154
則共3個相交點
示意圖(三個空心點, hollowed points)!：
https://goo.gl/7Fs6w5
↑小弟能想到的答案，最多就是3個
這篇文章也提到了exp <--> log 函數至多3解：
http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_43_from159to170.pdf
後來發現高中數學 http://math.ymsh.tp.edu.tw/textbooks/concepts-1/explog
也對於這種狀況稍微點到, 但點到為止.
(1)通案來說 3，這個答案是對的嗎？ 有可能有更大的交點數嗎 ?
或是有任何瑕疵，請討論/指教!
(2)小弟我只能從數值上(numerically)得到答案，有更正式的解析證明嗎？
目前初步看來，和 https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_number 有關
但是否有更細部的方向?!
先謝謝各位大大m(.__.)m
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.42.48.13
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09/24 15:22, , 1F
09/24 15:22, 1F
抱歉 抱歉 沒說清楚 應該加個條件：兩個相異反函數
否則退化成trivial 就不是我想探索的
謝謝Vulpix大 我原本題目沒寫清楚 已修文
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 15:40:56
推
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推
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對 沒錯
另外 我之前找的1個解 是另外一種狀況(a<0) 只有1個解(於第I象限).
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:09:13
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:09:43
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:10:27
推
09/24 16:13, , 6F
09/24 16:13, 6F
znmkhxrw大 抱歉 你剛剛說得是對的 我看錯您PO的函數了
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:16:21
推
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09/24 16:15, 7F
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09/24 16:15, , 8F
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09/24 16:16, , 9F
09/24 16:16, 9F
對 我同意您說的
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:17:05
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09/24 16:17, , 10F
09/24 16:17, 10F
感謝以上兩位大大提供讓我稍微修正一下命題.
現在命題應該已經修正到排除trivial解的狀況了.
我想知道的是
數值上(numerically)看起來答案是 3 ， 但不知道有沒有方法證明就是'3'這個答案?
也再請各位大大開示!
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/25/2017 21:08:08
討論串 (同標題文章)
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