Re: [微積] 函數遞減的證明 (懸賞批幣或現金)

看板Math作者chemmachine (chemmachine)時間8年前 (2017/08/17 22:36)推噓4(4推 0噓 23→)

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※ 引述《gg (GG)》之銘言： : ∞ : 令 f(x) = Σ x^k/k^s, x 定義在 [0,1], s>2, : k≧1 : (f(x) 稱為 polylogarithm function), : 試證明 : f(1)-f(x) : g(x)= ---------- 嚴格遞減。 : (1-x)f'(x) : Σ k^{-s} (1+x+...+x^{k-1}) : 由於 g(x) = ---------------------------- : Σ k^{-(s-1)} x^{k-1} : 這個命題蠻符合直覺的，也經由數學軟體證實其正確性， : 然而斷斷續續搞了半個月，還是沒有證明出來。 : 在此懸賞10000/5000批幣或現金1000/500， : 給前兩個提供證明的人，批幣或現金自選。 : 可以站內信貼 pdf 檔或手寫稿圖片， : （我假設沒有人想用站內信打數學符號） : 謝謝。在下剛好研究過黎曼採他函數(Riemann zeta fumction)及Polylogarithm function。本題工時一天半。記a的b次方為a^b，a除以b為a/b，a乘以b為a*b，a的下標b為a_b，a小於等於 b為a<=b 若f(x)=x/1^s+x^2/2^s+x^3/3^s+... 由polylogarithm function的可微性， f'(x)=1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+... f"(x)=1/2^(s-1)+2x/3^(s-1)+3x^2/4^(s-1)+.. 由g(x)之定義 g(x)=[f(1)-f(x)]/[(1-x)*f'(x)] f(1)-f(x)=(1-x)/1^s+(1-x^2)/2^s+(1-x^3)/3^s+... [f(1)-f(x)]/(1-x)=1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+.. {[f(1)-f(x)]/(1-x)}/f'(x)= [1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1+...)] 分母技巧變換= [1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+ (x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)]=g(x) g(x)代值可知g(0)=zeta(s) g(1)=1 可猜想g(x) strictly decreasing 現在考慮0<=y<x<=1 比較g(x)和g(1) g(x)=[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+ (x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)] g(1)=[1/1^s+(1+1)/2^s+(1+1+1)/3^s+...]/[1/1^s+(1+1)/2^(s-1)+ (1^2+1^2+1^2)/3^(s-1+...)] 考慮g(x)的分子和分母特殊對應 1/1^s <-> 1/1^s (1+x)/2^s <-> (x+x )/2^s (1+x+x^2)/3^s <-> (x^2+x^2+x^2) 可知分母是次數較高的多項式，且分子分母係數相同且同不為負數比較g(1)和g(x)的分子和分母分母(1+1)/2^s變為(x+x)/2^s縮小，(1+1+1)/3^s變為(x^2+x^2+x^2)/3^s縮小分子(1+1)/2^s變為(1+x)/2^s縮小，(1+1+1)/3^s變為(1+x+x^2)/3^s縮小且分母縮小幅度較大，因分母的階較高，g(1)的分子分母值相同經過分子和分母同時變小，且分母變小幅度較大，故g(x)>g(1) for x<1 同理可證，比較g(y)和g(x) y<x g(y)=[1/1^s+(1+y)/2^s+(1+y+y^2)/3^s+...]/[1/1^s+(y+y)/2^(s-1)+ (y^2+y^2+y^2)/3^(s-1+...)] g(x)=[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+ (x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)] g(x)變為g(y)時，分子分母同時變小，但分母因多項式次數較高，故縮小幅度較大；由上可知g(x)>1 一個大於1的分數a/b>1，當a，b同時變小，且b變小幅度較大則a/b數值增加。故g(y)>g(x)，由上g(x)>1 故g(y)>g(x)>g(1) for 0<=y<x<=1 故得證g(x) strictly decreasing 註記：在嘗試證明過程中，證明一些沒有用到的lemma如下 Remark1 (a+c)/(b+d) between a/b and c/d pf.設a/b=k，c/d=r, a=bk，c=dr (a+c)/(b+d)=(bk+dr)/(b+d)=[b/(b+d)]k+[d/(b+d)]r 故(a+c)/(b+d)為k和r的向量組合 Remark2 考慮g'(x) g(x)=[f(1)-f(x)]/[(1-x)*f'(x)] 則g'(x)=[1/[(1-x)^2*(f'(x))^2][-f'(x)(1-x)f'(x)- (f(1)-f(x))(-f'(x)+(1-x)f"(x))] 若g'(x)<0， (x-1)(f'(x))^2+(f(1)-f(x))f'(x)+(x-1)(f(1)-f(x))f"(x)<0 有兩種結合方式 (f'(x))((x-1)f'(x)+f(1)-f(x))+(x-1)(f(1)-f(x))f"(x)<0 和(x-1)(f'(x))^2+(f(1)-f(x))(f'(x)+(x-1)f"(x))<0 因f'(x)>0 for x屬於[0，1] f(1)-f(x)>0 ，x-1<0 欲證(x-1)f'(x)+f(1)-f(x)<0 =>f'(x)>[f(x)-f(1)]/(x-1) =>1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+...>1/1^s+(x+1)/2^s+(x^2+x+1)/3^s+... 當x=0，右式為zeta(s)明顯不對，無法證明本命題。同理，因(x-1)(f'(x))^2<0，f(1)-f(x)>0 欲證f'(x)+(x-1)f"(x)<0 (1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+...)+(x/2^(s-1)+2x^2/3^(s-1)+3x^3/4^(s-1)+..) +(-1/2^(s-1)-2x/3^(s-1)-3x^2/4^(s-1)+..) 整理係數可得f'(x)+(x-1)f"(x)>0 ，無法證明本命題。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.33.26.34 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1502980614.A.368.html

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DLHZ

08/17 22:50, , 1^F

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chemmachine

08/17 22:56, , 2^F

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