Re: [中學] 高中圓錐曲線
先說明
以下只是"說明"找例子
並非證明
但是對於解答是非題
應該是足夠的
※ 引述《Mistouko (Mistouko)》之銘言：
: 題目：
: 1、在拋物線上必可找到三點，形成一個直角三角形？
先取一個拋物線 y = ax^2
(其他拋物線就只是這的拋物線旋轉平移而已)
並任意取兩個點
http://imgur.com/tNZxhwj
若這兩點是直角三角形的其中兩頂點
則有兩種可能
(1) 直角的頂點為這兩點之一
(2) 直角的頂點是第三個點
分開討論
(1) 直角的頂點為這兩點之一
則 經過這兩點 並 與過這兩點的切線垂直之直線
與原拋物線之焦點即為第三個點
又因任意取的兩個點可能平行或不平行 x 軸
若不平行
則所取的垂直線斜率為有限(非垂直線)
=> 垂直線必定與拋物線有焦點
=> 該焦點與原先兩點構成一直角三角形
=> 題目一命題為真
到這裡已經可以寫第一題答案了，不過為了科學的完整，還是把(2)討論完吧
(2) 直角的頂點是第三個點
則 原先任意取的兩點為直角三角形斜邊
即為該直角三角形外接圓直徑
而外接圓與圓拋物線之焦點即為直角三角形的直角
為了讓外接圓有機會可以與拋物線相交
取足夠大的直徑就有辦法達成
=>這也可以說服人
可以在一拋物線上
找到三個點連線為一直角三角形
第二題也大概是相同想法
給你自己寫
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