Re: [代數] 五次方不可公式解的多項式
※ 引述《snaredrum (好聽木琴)》之銘言：
: 大家都知道Galois理論是證明五次方以上的多項式沒有公式解
: 請問有人可以給個例子嗎?
: 目前初淺的想到 假設有個degree 5的polynomial。首先它的Galois group not solvable
: 那我猜這個 group 必須含有一個5-cycle.
: 請問例子是? 還有能否解釋一下如何找到?
最近剛好代數課學到這邊就上來獻醜一下了
考慮f(x)=x^5-6x+3∈Q[x]，注意到f(x)在Q[x]是irreducible且separable
令K = splitting field of f(x) over Q
因為f(x)是separable，所以K over Q是一個Galois extension
假設f(x)的根分別是a1 a2 a3 a4 a5，則K=Q(a1,a2,a3,a4,a5)
對所有σ∈ Gal(K/Q)，σ一定會把每一個K裡面的元素送到他的（在Q裡的）最小多項式的根
換句話說，對每個ai，i=1到5，σ(ai)=aj for some j=1到5
所以Gal(K/Q)會是S5的一個子群
藉由一些高中數學(?)跟微積分的幫助我們可以知道f(x)=0有三個實根兩個虛根
假設虛根就是a1,a2，這表示a1 a2互為共軛
所以考慮一個特別的σ就是把a+bi送到a-bi（可以輕易驗證這是一個Gal(K/Q)的元素）
那σ會把a1------>a2 也就是說這個σ等於是S5裡的一個2-cycle
a2------>a1
a3------>a3
a4------>a4
a5------>a5
到這裡休息一下，我們已經知道Gal(K/Q)是S5的subgroup而且有一個2-cycle
接著只要證明Gal(K/Q)裡面有一個5-cycle，那Gal(K/Q)就必須是S5
（因為S5可以用一個2-cycle跟一個5-cycle去generate出來）
好，因為f(x)是一個deg 5的irreducible poly over Q，
所以對任何一個它的根ai來說，我們有 [ Q(ai) : Q ]=5
因為Q ⊆Q(ai) ⊆K=Q(a1,a2,a3,a4,a5)，所以 5 | [ K : Q ]=|Gal(K/Q)|
根據柯西定理，Gal(K/Q)裡存在一個order是5的元素
但因為S5裡面order是5的元素只有5-cycle，所以Gal(K/Q)裡面必然存在一個5-cycle
於是根據上面的結論，Gal(K/Q)=S5
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.229.19.198
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1497795793.A.ABC.html
推
06/18 22:27, , 1F
06/18 22:27, 1F
※ 編輯: omni1234 (36.229.19.198), 06/18/2017 22:28:40
推
06/20 00:45, , 2F
06/20 00:45, 2F
→
06/21 12:09, , 3F
06/21 12:09, 3F
討論串 (同標題文章)