Re: [分析] 三角積分與對數的極限

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間8年前 (2017/05/17 06:36)推噓2(2推 0噓 6→)

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※ 引述《BanachTarski (BanachTarski)》之銘言： : 小弟有一題習題一直想不出來 : 上來求救感謝各路大神QQ : Prove the following statement and find the value of the constant C : π : | sin(nx) | : ∫|---------| dx ≒ C ln(n) as n→∞ : | x | : -π C = 4/π 原問題應該改成「左式/ln(n)→C as n→∞」因為左右式之間的差距應該不太容易算出來左式 = 2*∫_{0}^{π} |sin(nx)|/x dx = 2*∫_{0}^{nπ} |sin(u)|/u du ( u = nx ) 令 a_n = ∫_{(n-1)π}^{nπ} |sin(u)|/u du = ∫_{0}^{π} sin(u)/[u+(n-1)π] du 僅考慮 n > 1， ∫_{0}^{π} sin(u)/nπ du < a_n < ∫_{0}^{π} sin(u)/(n-1)π du 即 2/nπ < a_n < 2/(n-1)π 至於 a_1 = ∫_{0}^{π} sin(u)/u du 也有限左式 = 2*Σ_{k=1}^{n} a_k ~ (4/π)*ln(n) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1494974160.A.E26.html

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